高等数学（1）学习辅导(一)
第一章函数
⒈理解函数的概念；掌握函数y?f(x)中符号f()的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 ⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意x，有f(?x)?f(x)，则f(x)称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。
若对任意x，有f(?x)??f(x)，则f(x)称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。
掌握奇偶函数的判别方法。
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型： ① 常数函数：y?c
② 幂函数：y?x?(?为实数) ③ 指数函数：y?ax(a?0,a?1) ④ 对数函数：y?logax(a?0,a?1) ⑤ 三角函数：sinx,cosx,tanx,cotx
⑥ 反三角函数：arcsinx,arccosx,arctanx
⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数
可以分解y?eu，u?v2，v?arctanw，w?1?x。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。
⒌会列简单的应用问题的函数关系式。 例题选解
一、填空题
1⒈设f()?x?1?x2(x?0)，则f(x)? 。
x11解：设t?，则x?，得
xt1?1?x2故f(x)?。
x1?5?x的定义域是 。 ⒉函数f(x)?ln(x?2)解：对函数的第一项，要求x?2?0且ln(x?2)?0，即x?2且x?3；对函数的第二项，要求5?x?0，即x?5。取公共部分，得函数定义域为(2,3)?(3,5]。
⒊函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(lnx)的定义域是 。
解：要使f(lnx)有意义，必须使0?lnx?1，由此得f(lnx)定义域为[1,e]。 ⒋函数y?解：要使y?x2?9的定义域为。 x?3?x?3x2?9有意义，必须满足x2?9?0且x?3?0，即?成立，解不x?3?x?3?x?3或x??3等式方程组，得出?，故得出函数的定义域为(??,?3]?(3,??)。
x?3?ax?a?x⒌设f(x)?，则函数的图形关于 对称。
2解：f(x)的定义域为(??,??)，且有
即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。 二、单项选择题
⒈下列各对函数中，（ ）是相同的。
A.f(x)?x2,g(x)?x； B.f(x)?lnx2,g(x)?2lnx；
x2?1,g(x)?x?1C.f(x)?lnx,g(x)?3lnx； D.f(x)?x?1
3解：A中两函数的对应关系不同,x2?x?x，B,D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以AB,D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应
关系相同，故选项C正确。
⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)－f(?x)的图形关于（ ）对称。
＝x； 轴； 轴； D.坐标原点 解：设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有
即F(x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。 3．设函数的定义域是全体实数，则函数f(x)?f(?x)是（ ）． A.单调减函数； B.有界函数；
C.偶函数； D.周期函数 解：A,B,D三个选项都不一定满足。 设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有 即F(x)是偶函数，故选项C正确。
ax?1(a?0,a?1)（） ⒋函数f(x)?xxa?1A.是奇函数； B.是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B正确。
11⒌若函数f(x?)?x2?2，则f(x)?（）
xxA.x2； B.x2?2；
C.(x?1)2； D.x2?1。
111解：因为x2?2?x2?2?2?2?(x?)2?2
xxx11所以f(x?)?(x?)2?2
xx则f(x)?x2?2，故选项B正确。
第二章极限与连续
⒈知道数列极限的“??N”定义；了解函数极限的描述性定义。
⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。
无穷小量的运算性质主要有：
① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量； ② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； ③ 无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。
⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。
求极限有几种典型的类型
（1）limx?0a2?xk?a(a2?xk?a)(a2?xk?a)1 ?lim?kk2kx?02axx(a?x?a)(x?x0)(x?x1)x2?ax?b（2）lim?lim?x0?x1
x?x0x?x0x?x0x?x0?0n?m?a0xn?a1xn?1???an?1x?an?a0（3）lim??n?m
x?x0bxm?bxm?1???b01m?1x?bm?b0?n?m?? ⒋熟练掌握两个重要极限：
11x lim(1?)?e （或lim(1?x)x?e）
x?0x??x 重要极限的一般形式：
1f(x))?e （或lim(1?g(x))g(x)?e） lim(1?g(x)?0f(x)??f(x)利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如
⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类：
已知点x?x0是的间断点，
1若f(x)在点x?x0的左、右极限都存在，则x?x0称为f(x)的第一类间断点；
若f(x)在点x?x0的左、右极限有一个不存在，则x?x0称为f(x)的第二类间断点。
⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。
典型例题解析
一、填空题
1x2sinx? 。 ⒈极限limx?0sinx1x2sinx?lim(xsin1x)?limxsin1?limx?0?1?0 解：limx?0x?0x?0sinxxsinxxx?0sinx1注意：limxsin?0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
x?0xx111sinxlim?lim???1，其中lim=1是第一个重要极限。 x?0sinxx?0sinxx?0sinx1xlimx?0xx1??xsinx?0⒉函数f(x)??的间断点是x? 。 x??x?1x?0解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。
1因为lim?xsin?0lim?(x?1)?1f(0)?1
x?0x?0x所以函数f(x)在x?0处是间断的，
又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。 ⒊⒋⒌⒍设f(x)?x2?3x?2，则f[f?(x)]? 。 解：f?(x)?2x?3，故
⒎函数y?ln(1?x2)的单调增加区间是 。 二、单项选择题 ⒈函数
在点
处（ ）．
A.有定义且有极限； B.无定义但有极限；
C.有定义但无极限； D.无定义且无极限 解：f(x)在点处没有定义，但
1limxsin?0（无穷小量?有界变量=无穷小量） x?0x故选项B正确。
⒉下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。
1sinx A.ex,(x??)； B.,(x??)；
xx?1?1,(x?0)x
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 而A,C,D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。
三、计算应用题
⒈计算下列极限：
x2?3x?2x?3?x ⑴lim2 ⑵lim()
x?2x?4x?12x??x?11?x?1(x?1)10(2x?3)5lim（4）(3)limx?0x??sin3x 12(x?2)15C.ln(1?x),(x?1)； D.
解：⑴?x2?3x?2(x?1)(x?2)x?1??
x2?4x?12(x?2)(x?6)x?6x2?3x?2x?11?lim2=lim? x?2x?4x?12x?2x?6811(1?)xlim[(1?)?x]?1x?3?xx?1xe?11n??xx)?lim()?lim???⑵lim( x34n??x?1n??x?3n??3xee3(1?)lim[(1?)3]3xn??x⑶题目所给极限式分子的最高次项为 分母的最高次项为12x15，由此得 （4）当x?0时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。
?x13x1111??lim?lim??? =limx?03x?0sin3xx?01?x?1326sin3x(1?x?1)2.设函数
问（1）a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？ （2）a,b为何值时，f(x)在x?0处连续？
解：（1）要f(x)在x?0处有极限存在，即要lim?f(x)?lim?f(x)成立。
x?0x?0因为lim?f(x)?lim?(xsinx?0x?01?b)?b xsinx?1x?0x?0x所以，当b?1时，有lim?f(x)?lim?f(x)成立，即b?1时，函数在x?0处有极
lim?f(x)?lim?x?0x?0限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。
（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有b?1?f(0)?a，即a?b?1时函数在x?0处连续。
第三章导数与微分
导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：
电大高等数学基础期末考试复习试题及答案
