第 16 讲
直角三角形
考纲要求
1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．
2．掌握勾股定理与逆定理，并 能用来解决有关问题 .
命题趋势
直角三角形是中考考查的
热点之一， 题型多样， 多以简单
题和中档难度题出现， 主要考查
直角三角形的判定和性质的应
用，以及运用勾股定理及其逆定
理来解决实际问题的能力 .
知识梳理 一、直角三角形的性质
1．直角三角形的两锐角 ________ ． 2．直角三角形中， 30 °角所对的边等于斜边的 ________ ． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ________ ．
4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 二、直角三角形的判定 1．有一个角等于 ________ 的三角形是直角三角形． 2．有两角 ________ 的三角形是直角三角形．
3．如果三角形一边上的中线等于这边的 ________ ，则该三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的 ________ ，那么这个三
角形是直角三角形．
自主测试
1．在△ ABC 中，若三边
5 12 BC ， CA， AB 满足 BC: CA: AB ＝ 5: 12: 13 ，则 cos B＝ ()
5 12
)
A． 12 C． 13 B ． 5 D． 13
2．如图，在△ ABC 中， DE 是中位线，∠ ABC 的平分线交 DE 于 F ，则△ ABF 一定是 (
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①
n2， m2＋n2， 2mn.其中是直角三角形的有 (
A．①② B ．③④ C．①③
)
22,3,4 ；② 5,12,13 ；③ 2， 3 ， 4；④ m －
D ．②④
考点一、直角三角形的判定
【例 1】如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 90°，点 D 为边 BC 上的任一点， DF ⊥ AB 于 F， DE ⊥ AC 于 E， M 为 BC 的中点，试判断△ MEF 的形状，并证明你的结论．
分析： 连接 AM ，可得 AM ＝ BM ，然后证明 △ BFM ≌△ AEM ，得到 FM ＝ ME，∠EMF ＝ 90°.
解： △ MEF 是等腰直角三角形．
连接 AM ，∵∠BAC＝ 90 °， AM 是斜边 BC 的中线，
∴MA ＝ MB＝ MC ， MA ⊥BC.
∵AB＝ AC，
∴∠B ＝∠BAM ＝∠MAE ＝ 45 °.
∵DF ⊥ AB， DE ⊥ AC，
∴∠AFD ＝∠AED ＝∠FAE ＝ 90 °，
∴四边形 DFAE 是矩形，∴ FD ＝ EA.
又∵FB ＝ FD ，∴FB＝ EA ，
∴△ BFM ≌△ AEM (SAS) ，
∴FM ＝ EM，∠BMF ＝∠AME .
∵∠AMF ＋∠BMF ＝ 90 °，
∴∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝ 90 °，
∴△ MEF 是等腰直角三角形．
方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等
于 90 °，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．
触类旁通 1
具备下列条件的△ ABC 中，不能成为直角三角形的是(
A．∠ A＝∠ B＝∠C B．∠ A＝ 90°－∠ C
2
C．∠ A＋∠ B＝∠ C D．∠ A－∠ C＝ 90° 考点二、直角三角形的性质
1
)
【例 2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图
图形， B， C，E 在同一条直线上，连接 DC .
1 所示放置，图
2 是由它抽象出的几何
(1) 请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明 (2) 证明： DC ⊥ BE.
(1) 解：图 2 中△ABE≌△ACD.
(说明：结论中不得含有未标识的字母
)；
证明如下：
∵△ ABC 与 △ AED 均为等腰直角三角形，
∴AB＝ AC ， AE＝ AD ，∠BAC ＝∠EAD ＝ 90 °.
∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠E AD ＋∠CAE，
即∠BAE ＝∠CAD .
又∵AB＝ AC，AE ＝ AD，
∴△ ABE ≌△ ACD .
(2)证明： 由 (1) △ ABE≌△ ACD 知∠ACD ＝∠ABE＝ 45 °. 又∠ACB＝ 45 °，
∴∠BCD ＝∠ACB＋∠ACD ＝ 90 °，
∴DC ⊥ BE.
方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和
与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．
考点三、勾股定理及其逆定理
【例 3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边
沿直线 AD 折叠，使它落在斜边
AC ＝ 6 cm， BC＝ 8 cm，现将直角边
AC
AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长．
解： 设 CD 长 为 x cm ，由折叠得 △ ACD ≌△ AED .
∴AE＝ AC ＝ 6 cm，∠AED ＝∠C＝ 90 °， DE ＝ CD ＝ x cm.
在 Rt△ ABC 中， AC ＝ 6 cm， BC ＝ 8 cm ，
∴EB＝ AB－ AE＝ 10－ 6＝ 4 (cm) ，BD ＝ BC － CD ＝ (8 － x) cm ， 在 Rt△ DEB 中，由勾股定理得 DE 2＋ BE2＝ DB 2 . ∴x2＋42＝ (8－ x)2，解得 x＝ 3. ∴CD 的长为 3 cm.
方法总结 1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．
2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．
触类旁通 2 如图，在四边形 ABCD 中，∠ A＝ 90°， AB＝ 3， AD ＝ 4，CD ＝ 13， CB ＝ 12 ，求四边形 ABCD 的面积．
考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用
【例 4】如图所示，铁路上 A， B 两站 (视为直线上两点 )相距 14 km ， C， D 为两村庄 (可视为
两个点 )， DA ⊥ AB 于 A，CB ⊥ AB 于 B，已知 DA ＝ 8 km ， CB＝ 6 km ，现要在铁路上建一个土特产品收购站 E，使 C， D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米处？
2024年中考第一轮复习第16讲《直角三角形》专题训练含答案
