第六章图形的相似与解直角三角形
第十八讲
图形的相似
2019年中考预测
题号7
15 16 6 24
分值3分3分3分3分12分
预计2019年宜宾中考考查在组合图形中，利用三角形相似知识，解决实际
问题.
宜宾中考考情与预测
近五年中考考情
年份xx
xx xx xx xx
考查点三角形相
似三角形相
似三角形相
似位似三角形相
似
题型选择题填空题填空题选择题解答题
宜宾考题感知与试做
1.（xx·宜宾中考）如图，△
OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为
1∶2，∠OCD＝90°，
CO＝CD.若B（1，0），则点C的坐标为（B）
D.（2，1）
,（第2题图）)
A.（1，2）B.（1，1）C.（2，2）
,（第1题图）)
2.（宜宾中考）如图，在比为（
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之
A）
B. 1∶3
C. 1∶4
D. 1∶5
2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形
A.1∶2
3.（宜宾中考）若一个图形的面积为面积为（
A）
A.8 B.6 C.4 D.2
4.（xx·宜宾中考）如图，⊙5－1 Ｗ.
,（第4题图）)
5.（xx·宜宾中考）如图，将△ABC沿BC边上的中线9，阴影部分三角形的面积为
4.若AA′＝1，则A′Ｄ等于（
,（第5题图）)
AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC
的面积为
O的内接正五边形
ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE＝2，则EG的长是
A）
2
A.2 B.3 C.
33D.2
宜宾中考考点梳理
成比例线段、平行线分线段成比例1.两条线段的比是两条线段的长度之比（1）两条线段的长度单位需统一；（2）线段的比是一个不带单位的数2.成比例线段对于给定的四条线段
a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如
ac
＝（或bd
.
.
a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
3.比例的性质ac
基本性质：＝?
bd合（分）比性质：若
ad＝bc （bd≠0）. aca±ｂ＝，则＝bdb
c±ｄ
Ｗ. d
.
acma＋c＋…＋m
等比性质：若＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），则＝
bdnb＋d＋…＋n4.黄金分割：如果点
C把线段AB分成两条线段，使
5－1
2
AC＝ABＷ.
ab
Ｗ.
BC
，那么点C叫做线段AB的AC
黄金分割点，
AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比值为
5.平行线分线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）相似三角形6.相似三角形：对应边叫做相似比.
7.相似三角形的性质（1）相似三角形的
对应角
相等；成比例
、对应角
相等
.
，所得的对应线段成比例
.
的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于8.相似三角形的判定（1）
两
角分别相等的两个三角形相似；
夹角
相等的两个三角形相似；
相似比
，面积比等于
相似比的平方
Ｗ.
（2）两边成比例且（3）三边
成比例
的两个三角形相似；
（4）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似；（5）对于两个直角三角形，除了以上判定方法外，还可以通过得到：①一个锐角相等；②两组直角边对应成比例；③斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似
相似多边形的判定及性质9.相似多边形：两个边数边形相似.
10.相似多边形的性质（1）相似多边形的对应边（2）相似多边形的对应角（3）相似多边形周长的比等于位似图形
11.位似图形：如果两个图形的对应点连线都交于一点，并且这一点到各组对应点的距离的比相等，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做
位似中心
.
成比例相等
；相似比
，相似多边形面积的比等于
相似比的平方
Ｗ.
；
相同
的多边形，如果各边对应
成比例
，各角对应
相等
，就称这两个多
.
【温馨提示】
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
相似比
Ｗ.
（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为么位似图形上的点的坐标为
（kx，ky）
或
（－kx，－ky）
Ｗ.
k，原图形上点的坐标为（x，y），那
12.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点就是位似中心
Ｗ.
13.位似作图的步骤（1）确定
位似
中心、原图形的关键点、
相似比
（即要将图形放大或缩小的倍数）
；
（2）作出原图形中各关键点的对应点；（3）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点
.
1.（xx·乐山中考）如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（B）
A.EG＝4GC B.EG＝3GC
5
C.EG＝GC
2
D.EG＝2GC
2.（xx·内江中考）已知△ABC与△Ａ1B1C1相似，且相似比为
1∶3，则△ABC与△Ａ1B1C1的面积比为（
D）
.1∶6 D.1∶9 A.1∶1 B.1∶3 C
3.（xx·资阳中考）已知：如图，△积为
9 Ｗ. 4.如图，四边形
ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面
ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD
与四边形A′B′C′D′的面积比为（
A）
A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D.2∶3
中考典题精讲精练
线段成比例及比例的性质
y3x＋y【典例1】（1）若＝，则的值为（
x4x
D）
A.1
4
B.75C.47D.4
）中，成比例线段的是（cm
（2）下列各组线段（单位：
A）
A.1，2，4，8
.3，6，8，12 C
B.2，4，6，8 D.3，6，9，12
.
y3x＋y4＋3
【解析】（1）∵＝，∴＝；（2）根据成比例线段的定义判断即可
x4x4位似变换
【典例2】如图，△ABC三个顶点坐标分别为
A（－1，3），B（－1，1），C（－3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△Ａ1B1C1. （2）以原点O为位似中心，将△Ａ1B1C1放大为原来的出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值.
【解析】（1）根据网格结构找出点
A、B、C关于y轴的对称点
A1、B1、C1的位置，然后顺次连结即可得到
2倍，得到△Ａ2B2C2，请在第三象限内画出△Ａ
22
BC2，并求
△Ａ1B1C1；（2）连结A1O并延长至A2，使A2O＝2A1O，连结B1O并延长至B2，使B2O＝2B1O，连结C1O并延长至C2，使C2O＝2C1O，然后顺次连结点
A2、B2、C2即可得到△Ａ2B2C2；由变换的方式可知△Ａ
1
B1C1与△Ａ2B2C2相似，且相似比为
1∶2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方便可求出两个三角形的面积比
【解答】解：（1）△Ａ1B1C1如图所示；（2）△Ａ2B2C2如图所示. ∵将△Ａ1B1C1放大为原来的
2倍得到△A2B2C2，
1∶2，
.
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4.
相似三角形的性质及判定
命题规律：在中考题目中，相似三角形的知识常与解直角三角形、全等三角形、圆、二次函数等知识综
合.考查探索问题、解决问题的能力
.
＝4，AB＝3.动点M从点A出发，以Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA
【典例4】如图，在直角坐标系中，每秒1个单位长度的速度，
沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动
点运动了x s（0 （1）求点N的坐标；（用含x的代数式表示）（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△在，请说明理由. 【解析】（1）由勾股定理求出OP、PN，即可得出点得出比例式，即可求出值即可. 【解答】解：（1）根据题意，得在Rt△OAB中，由勾股定理，得 MA＝x，ON＝1.25x，OB＝OA＋AB， 2 2 2 OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存 OB，作NP⊥OA于点P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出 N的坐标；（2）分两种情况：①若∠OMN＝90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，x的值；②若∠ONM＝90°，则∠ONM＝∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出 x的 OB＝OA2＋AB2 ＝ 42＋32 ＝5. 作NP⊥OA于点P，如图①，则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴PNAB＝OPONOA＝OB，即PNOP1.25x3＝4＝5 ，解得OP＝x，PN＝34 x，∴点N的坐标是 x，3 4 x； （2）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形.理由：①若∠x，ON＝1.25x. ∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB， ∴OMON4－x1.25xOA＝OB，即4＝5，解得x＝2； ②若∠ONM＝90°，如图③，则∠ONM＝∠OAB，此时∠BOA，∴△OMN∽△OBA， ∴OMON4－x1.25x64OB＝OA，即5＝4，解得x＝41 . 综上所述，x的值是2或6441 时，△OMN是直角三角形1.下列各组数中，成比例的是（ A） A.－6，－8，3，4 B.－7，－5，14，5 C .3，5，9，12 D.2，3，6，12 OMN＝90°，如图②，则MN∥AB，此时OM＝4－x，ON＝1.25x.∵∠ONM＝∠OAB，∠ . OM＝4－ MON＝
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第6章图形的相似与解直角三角形第18讲图形的相似(精讲)练习
