高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
高中数学选修2-1课后习题答案
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
练习(P4)
1、略. 2、(1)真; (2)假; (3)真; (4)真. 3、(1)若一个三角形是等腰三角形,则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题. (2)若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题. (3)若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行. 这是假命题.
练习(P6)
1、逆命题:若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0. 这是假命题. 否命题:若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除. 这是假命题. 逆否命题:若一个整数不能被5整除,则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题. 2、逆命题:若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等. 这是真命题. 否命题:若一个三角形有两条边不相等,这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题:若一个三角形有两个角不相等,则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题. 3、逆命题:图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.
否命题:不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题:图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.
练习(P8)
证明:若a?b?1,则a2?b2?2a?4b?3
?(a?b)(a?b)?2(a?b)?2b?3 ?a?b?2?2b?3
?a?b?1?0 所以,原命题的逆否命题是真命题,从而原命题也是真命题.
习题1.1 A组(P8)
1、(1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是.
2、(1)逆命题:若两个整数a与b的和a?b是偶数,则a,b都是偶数. 这是假命题. 否命题:若两个整数a,b不都是偶数,则a?b不是偶数. 这是假命题.
逆否命题:若两个整数a与b的和a?b不是偶数,则a,b不都是偶数. 这是真命题. (2)逆命题:若方程x2?x?m?0有实数根,则m?0. 这是假命题. 否命题:若m?0,则方程x2?x?m?0没有实数根. 这是假命题.
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逆否命题:若方程x2?x?m?0没有实数根,则m?0. 这是真命题.
3、(1)命题可以改写成:若一个点在线段的垂直平分线上,则这个点到线段的两个端点的
距离相等.
逆命题:若一个点到线段的两个端点的距离相等,则这个点在线段的垂直平分线上.
这是真命题.
否命题:若一个点到不在线段的垂直平分线上,则这个点到线段的两个端点的距离不
相等. 这是真命题.
逆否命题:若一个点到线段的两个端点的距离不相等,则这个点不在线段的垂直平分
线上. 这是真命题.
(2)命题可以改写成:若一个四边形是矩形,则四边形的对角线相等. 逆命题:若四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形. 这是假命题. 否命题:若一个四边形不是矩形,则四边形的对角线不相等. 这是假命题. 逆否命题:若四边形的对角线不相等,则这个四边形不是矩形. 这是真命题.
4、证明:如果一个三角形的两边所对的角相等,根据等腰三角形的判定定理,这个三角形是等腰三角形,且这两条边是等腰三角形,也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题,表明原命题的逆否命题为真命题. 所以,原命题也是真命题.
习题1.1 B组(P8)
证明:要证的命题可以改写成“若p,则q”的形式:若圆的两条弦不是直径,则它们不能互相平分.
此命题的逆否命题是:若圆的两条相交弦互相平分,则这两条相交弦是圆的两条直径. 可以先证明此逆否命题:设AB,CD是eO的两条互相平分的相交弦,交点是E,若E和圆心O重合,则AB,CD是经过圆心O的弦,AB,CD是两条直径. 若E和圆心O不重合,连结则OE是等腰?AOB,?COD的底边上中线,所以,OE?AB,OE?CD. AO,BO,CO和DO,
且与OE垂直,这是不可能的. 所以,E和O必然重合. 即AB和CD是AB和CD都经过点E,
圆的两条直径.
原命题的逆否命题得证,由互为逆否命题的相同真假性,知原命题是真命题.
1.2 充分条件与必要条件
练习(P10)
1、(1)?; (2)?; (3)?; (4)?. 2、(1). 3(1). 4、(1)真; (2)真; (3)假; (4)真.
练习(P12)
1、(1)原命题和它的逆命题都是真命题,p是q的充要条件; (2)原命题和它的逆命题都是真命题,p是q的充要条件; (3)原命题是假命题,逆命题是真命题,p是q的必要条件.
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2、(1)p是q的必要条件; (2)p是q的充分条件; (3)p是q的充要条件; (4)p是q的充要条件.
习题1.2 A组(P12)
1、略. 2、(1)假; (2)真; (3)真. 3、(1)充分条件,或充分不必要条件; (2)充要条件;
(3)既不是充分条件,也不是必要条件; (4)充分条件,或充分不必要条件. 4、充要条件是a2?b2?r2.
习题1.2 B组(P13)
1、(1)充分条件; (2)必要条件; (3)充要条件.
2、证明:(1)充分性:如果a2?b2?c2?ab?ac?bc,那么a2?b2?c2?ab?ac?bc?0. 所以(a?b)2?(a?c)2?(b?c)2?0 所以,a?b?0,a?c?0,b?c?0. 即 a?b?c,所以,?ABC是等边三角形. (2)必要性:如果?ABC是等边三角形,那么a?b?c 所以(a?b)2?(a?c)2?(b?c)2?0 所以a2?b2?c2?ab?ac?bc?0 所以a2?b2?c2?ab?ac?bc
1.3 简单的逻辑联结词
练习(P18)
1、(1)真; (2)假. 2、(1)真; (2)假.
3、(1)2?2?5,真命题; (2)3不是方程x2?9?0的根,假命题; (3)(?1)2??1,真命题.
习题1.3 A组(P18)
1、(1)4?{2,3}或2?{2,3},真命题; (2)4?{2,3}且2?{2,3},假命题; (3)2是偶数或3不是素数,真命题; (4)2是偶数且3不是素数,假命题. 2、(1)真命题; (2)真命题; (3)假命题.
3、(1)2不是有理数,真命题; (2)5是15的约数,真命题; (3)2?3,假命题; (4)8?7?15,真命题; (5)空集不是任何集合的真子集,真命题.
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