[2020高中数学]成才之路人教A版数学必修1练习1-3-1-1

1.3.1.1

一、选择题

1．下列函数中,在区间(－∞,0)上是减函数的是( ) A．y＝1－x2 B．y＝x2＋x x

C．y＝－－x D．y＝

x－1[答案] D

[解析] y＝1－x2在(－∞,0)上为增函数,y＝x2＋x在(－∞,0)上不单调,y＝－∞,0)上为增函数,故选D.

1?

2．已知f(x)是R上的减函数,则满足f??x?>f(1)的x的取值范围是( ) A．(－∞,1) B．(1,＋∞) C．(－∞,0)∪(0,1) D．(－∞,0)∪(1,＋∞) [答案] D

1

[解析] ∵f(x)在R上单调递减且f()>f(1),

x1

∴<1,∴x<0或x>1. x

3．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ) A．y＝3－x 1

C．y＝

x[答案] B

1

[解析] y＝3－x,y＝,y＝－|x|在(0,2)上都是减函数,y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．

x4．若y＝f(x)是R上的减函数,对于x1＜0,x2＞0,则( ) A．f(－x1)＞f(－x2) B．f(－x1)＜f(－x2) C．f(－x1)＝f(－x2) D．无法确定

B．y＝x2＋1 D．y＝－|x|

－x在(－

[答案] B

[解析] 由于x1＜0,x2＞0,所以x1＜x2,则－x1＞－x2,因为y＝f(x)是R上的减函数,所以f(－x1)＜f(－x2),故选B.

5．函数f(x)＝－x2＋6x＋7的单调增区间为( ) A．(－∞,3] C．[－1,3] [答案] C

[解析] 方程－x2＋6x＋7＝0的两根为x1＝－1,x2＝7,又y＝－x2＋6x＋7对称轴为x＝3,如图知选C.

B．[3,＋∞) D．[3,7]

6．函数y＝1－

1

( ) x－1

A．在(－1,＋∞)内单调递增 B．在(－1,＋∞)内单调递减 C．在(1,＋∞)内单调递增 D．在(1,＋∞)内单调递减 [答案] C

11

[解析] 因为函数y＝1－可视作函数y＝－的图象向右平移一个单位,再向上平移

xx－1一个单位得到的,所以y＝1－

1

在(－∞,1)和(1,＋∞)内都是增函数,故选C. x－1

7．已知函数y＝f(x)的定义域是数集A,若对于任意a,b∈A,当a

A．有且只有一个 B．一个都没有 C．至多有一个

D．可能会有两个或两个以上 [答案] C

[解析] 由条件知f(x)在A上单调增,故f(x)的图象与x轴至多有一个交点,故选C. 8．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t,都有f(2＋t)＝f(2－t),则( ) A．f(2)

B．f(1)

[解析] 由条件知,二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2,其图象开口向上, ∵2－1<4－2,∴f(4)>f(1)>f(2)．

[点评] 当二次函数的图象开口向上时,与对称轴距离越远,对应的函数值越大；开口向下时恰好相反．

2??x－4x＋6，x≥0，

9．(09·天津文)设函数f(x)＝?则不等式f(x)＞f(1)的解集是( )

?x＋6，x＜0，?

A．(－3,1)∪(3,＋∞) B．(－3,1)∪(2,＋∞) C．(－1,1)∪(3,＋∞) D．(－∞,－3)∪(1,3) [答案] A

[解析] ∵f(1)＝3,∴当x≥0时,由f(x)＞f(1) 得x2－4x＋6>3,

∴x＞3或x＜1.又x≥0,∴x∈[0,1)∪(3,＋∞)． 当x＜0时,由f(x)＞f(1)得x＋6＞3∴x＞－3, ∴x∈(－3,0)．

综上可得x∈(－3,1)∪(3,＋∞),故选A.

10．设(c,d)、(a,b)都是函数y＝f(x)的单调减区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1

A．f(x1)

B．f(x1)>f(x2)

C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 [答案] D

[解析] 函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数),但在D∪E上不一定单调减(或增)．

如图,f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数,但在区间[－1,1]上不单调．

二、填空题

11．考察单调性,填增或减

函数y＝1－x在其定义域上为________函数； 函数y＝

1

在其定义域上为________函数． x

[答案] 减 减

?(x－1)2 x≥0?

12．若f(x)＝?,则f(x)的单调增区间是________,单调减区间是________．

??x＋1 x＜0

[答案] 增区间为(－∞,0]、[1,＋∞),减区间[0,1]

2??(x－1) (x≥0)

[解析] 画出f(x)＝?的图象如图,可知f(x)在(－∞,0]和[1,＋∞)上都

?x＋1 (x<0)?

是增函数,在[0,1]上是减函数.

13．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1,在(－∞,－2)上递减,在[－2,＋∞)上递增,则f(1)＝________.

[答案] 21

－m

[解析] 由已知得－＝－2,解得m＝－16

2×4∴f(x)＝4x2＋16x＋1,则f(1)＝21. 三、解答题

14．设f(x)在定义域内是减函数,且f(x)＞0,在其定义域内判断下列函数的单调性 (1)y＝f(x)＋a (2)y＝a－f(x)

(3)y＝[f(x)]2.

[解析] (1)y＝f(x)＋a是减函数,(2)y＝a－f(x)是增函数．证明从略．

(3)设x2＞x1,f 2(x2)－f 2(x1)＝[f(x2)＋f(x1)][f(x2)－f(x1)]＜0,∴y＝f 2(x)是减函数． 15．画出函数y＝|x2－x－6|的图象,指出其单调区间．

[解析] 函数解析式变形为

2??－x＋x＋6(－2≤x≤3)

y＝?

2??x－x－6(x＜－2或x＞3)

1

画出该函数图象如图,由图知函数的增区间为[－2,]和[3,＋∞)；减区间为(－∞,－2)和

21

[,3]． 2

16．讨论函数y＝1－x2在[－1,1]上的单调性．

[解析] 设x1、x2∈[－1,1]且x1

(x2－x1)(x2＋x1)1－x21＋

1－x21－

1－x22

1－x22

当1>x1≥0,1≥x2>0,x1f(x2), ∴f(x)在[0,1]上为减函数,

当－1≤x1<0,－1

17．求证：函数f(x)＝x＋(a＞0),在区间(0,a]上是减函数．

xa2a2

[解析] 设0＜x1＜x2≤a,f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)

x2x1a2(x1－x2)(x2－x1)(x1x2－a2)

＝(x2－x1)＋＝. x1x2x1x2∵0＜x1＜x2≤a,∴0＜x1x2＜a2, (x2－x1)(x1x2－a2)

∴＜0,∴f(x2)＜f(x1),

x1x2