备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
专题29初等数论
历年联赛真题汇编
1【.2020高中数学联赛B卷(第02试)】设a,b为不超过12的正整数,满足:存在常数C,使得????+????+9≡??(mod13)对任意正整数n成立.求所有满足条件的有序数对(??,??).
2.【2019高中数学联赛A卷(第02试)】设m为整数,|??|?2.整数数列??1,??2,?满足:??1,??2不全为零,且对任意正整数n,均有????+2=????+1???????.
证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得????=????=??1,则????????.
3.【2019高中数学联赛B卷(第02试)】求满足以下条件的所有正整数n: (1)n至少有4个正因数;
(2)若??1?2???是n的所有正因数,??2???1,??3???2,?,??????????1构成等比数列.
4.【2018高中数学联赛B卷(第02试)】给定整数a≥2.证明:对任意正整数n,存在正整数k,使得连续n个数????+1,????+2,?,????+??均是合数.
5.【2017高中数学联赛A卷(第02试)】设m、n均是大于1的整数,m≥n.??1,??2,?,????是n个不超过m的互不相同的正整数,且??1,??2,?,????互质.证明:对任意实数x,均存在一个i(1≤i≤n),使得‖??????‖?示实数y到与它最近的整数的距离.
6.【2015高中数学联赛(第02试)】求具有下述性质的所有正整数k:对任意正整数n,2(???1)??+1|
(????)!??!
2??(??+1)
‖??‖,这里‖??‖表
不成立.
7.【2014高中数学联赛(第02试)】设整数??1,??2,?,??2014模2014互不同余,整数??1,??2,?,??2014模2014也互不同余.证明:可将??1,??2,?,??2014重新排列为??1,??2,?,??2014,使得??1+??1,??2+??2,?,??2014+??2014模4028互不同余. 8.【2013高中数学联赛(第02试)】设n,k为大于1的整数,n<2k.证明:存在2k个不被n整除的整数,若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被n整除.
??9.【2009高中数学联赛(第02试)】设k,l是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数m≥k,使得????与l互素.
5
10.【2007高中数学联赛(第02试)】设集合P={1,2,3,4,5}.对任意k∈P和正整数m,记??(??,??)=∑
??=1
??+1??+1
[??
√],其中[a]表示不大于a的最大整数.
求证:对任意正整数n,存在k∈P和正整数m,使得??(??,??)=??.
11.【2004高中数学联赛(第02试)】对于整数n≥4,求出最小的整数f(n),使得对于任意正整数m,集合{m,m+1,m+2,…,m+n-1}的任何一个f(n)元子集中,均有至少3个两两互素的元素.
12.【1995高中数学联赛(第02试)】求一切实数p,使得三次方程5??3?5(??+1)??2+(71???1)??+1=66??的三个根均为自然数.
13.【1994高中数学联赛(第02试)】将与105互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第1000项.
14.【1991高中数学联赛(第02试)】设an为下述自然数N的个数:N的各位数字之和为n且每位数字只能取1,3或4,求证:a2n是完全平方数,这里n=1,2,…
15.【1989高中数学联赛(第02试)】有n×n(n≤4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意地填入+1与-1两数中的一个,现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表成4k的形式,其中k∈Z).
16.【1985高中数学联赛(第02试)】在直角坐标系xOy中,点??(??1,??1)和点??(??2,??2)的坐标均为正整数.OA与x轴正方向的夹角大于45°,OB与x轴正方向的夹角小于45°,B在x轴上的射影为B',A在y轴上的射影为A',△OB'B的面积比△OA'A的面积大33.5.由??1,??1,??2,??2组成的四位数??1??2??2??1=??1?103+??2?102+??2?10+??1试求出所有这样的四位数,并写出求解过程.
17.【1984高中数学联赛(第02试)】设an是12+22+?+??2的个位数字,n=1,2,3,…….试证0.??1??2??????是有理数.
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1.设k、l、c均为正整数,证明:存在正整数a、b满足?????=???(??,??),且??(示a、b的最大公因数,??(??)表示正整数m的所有不同正因子的个数2.求所有的正整数n,使得方程??2+??2+?+??2=??2有正整数解.
1
2
??
??+1
??(??)
??
)(??,??)
???=
??(??)??(
??)??,??
???,其中(a,b)表
.
111??+1
3.求证:不存在无穷多项的素数数列??1,??2,?,????,?,使得????+1=5????+4, ??=1,2,?. 4.设??,??是正整数,满足????|??2+??2+1.证明:??2+??2+1=3????. 5.求证:对任意的??∈???,32??+2?8???9能被64整除.
6.求最小的正整数??,使得当正整数点??≥??时,在前??个正整数构成的集合??={1,2,?,??}中,对任意??∈??总存在另一个数??∈??且??≠??,满足??+??为平方数.
7.设??∈??+,定义:??1=1,????+1=??????+2(??+1)(??=1,2?).证明:当??≥1时,????为整数,且????为奇数当且
??+2
2??
仅当??≡1或2(mod4).
8.已知??、??、??、??、??、??为整数,方程????5?2????4+3????3?5????2+7?????2024=0①有正整数解.证明:存
在无穷多个正整数??使得61|(11??5?7????4+5????3?3????2+2???????). 9.已知????=∑???1??=0
10??(??=1,2,???),求证:存在无穷多个正整数??,使??1,??2,???,????除以??的余数互不相同。
10.已知??(??≥3,??∈??+)个两两互质的正整数??1,??2,?,????满足:可以适当添加“+”或“-”使得其代数式的和为0.问:是否存在一组正整数??1,??2,?,????(允许有相同的),使得对任意正整数??,都有??1+??1??,??2+??2??,?,????+??????两两互质.
11.(1)若??为奇素数,??、??、??∈N+,??|(?????),??|??,??≠?? ,证明: ???????????
??????????????
;
(2)若??,??是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数??,满足?????????是正整数.证明:??,??也是正整数. 12.已知??、??、??为正整数,且??(??+??)(??+????)是一个素数的幂.证明:1+
????
必为1+??的某个正整数次幂. ??
??
13.给定正整数??(??≥3).已知??1?2?????,且(??+1)????∈??(??=1,2,???,???1,??={??1,??2,???,????}).求满足条件的一切有序数组(??1,??2,???,????).
14.对任意一个正整数??,设其十进制表达为???????????????1??2???????.证明:存在??∈??+,使得3??的十进制表达的前??位为??1??2???????.
15.证明:存在无数个满足如下条件的整数組(a,b,c,d): (1)a>c>0,(a,c)=1;
(2)对任意给定的正整数k,恰有k个正整数n,使得(an+b)|(cn+d)。 16.设??是一个大于1的正整数,??是素数,??|(1)证明:??≡0(mod??)或??≡1(mod??);
(2)若??是不同于??的素数,则?????1≡0(mod??)恰有??个不同的解(即模??互不同余). 17.求最大的正整数n,使得对于任意整数a,若(a,n)=1,均有??2≡(mod??). 18.求最小的两个正整数m,使得47(??2+46??+713)为完全平方数.
19.证明:存在无穷多个正整数n,使得([√??]+[√])|??,其中,[x]表示不超过实数x的最大整数。
5??
?????1???1
.
20.求所有素数p,使得??2|∑???1
??=1
??2??+1.