备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
专题29初等数论
历年联赛真题汇编
1【．2020高中数学联赛B卷(第02试)】设a,b为不超过12的正整数,满足:存在常数C,使得????+????+9≡??(mod13)对任意正整数n成立.求所有满足条件的有序数对(??,??).
2．【2019高中数学联赛A卷(第02试)】设m为整数，|??|?2.整数数列??1,??2,?满足:??1,??2不全为零，且对任意正整数n，均有????+2=????+1???????.
证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得????=????=??1，则????????.
3．【2019高中数学联赛B卷(第02试)】求满足以下条件的所有正整数n: (1)n至少有4个正因数；
(2)若??1
4．【2018高中数学联赛B卷(第02试)】给定整数a≥2.证明:对任意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数????+1,????+2,?,????+??均是合数.
5．【2017高中数学联赛A卷(第02试)】设m、n均是大于1的整数，m≥n.??1,??2,?,????是n个不超过m的互不相同的正整数，且??1,??2,?,????互质.证明:对任意实数x，均存在一个i(1≤i≤n)，使得‖??????‖?示实数y到与它最近的整数的距离.
6．【2015高中数学联赛(第02试)】求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n，2(???1)??+1|
(????)!??!
2??(??+1)
‖??‖，这里‖??‖表
不成立.
7．【2014高中数学联赛(第02试)】设整数??1,??2,?,??2014模2014互不同余，整数??1,??2,?,??2014模2014也互不同余.证明：可将??1,??2,?,??2014重新排列为??1,??2,?,??2014，使得??1+??1,??2+??2,?,??2014+??2014模4028互不同余. 8．【2013高中数学联赛(第02试)】设n，k为大于1的整数，n<2k.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除.
??9．【2009高中数学联赛(第02试)】设k，l是给定的两个正整数.证明：有无穷多个正整数m≥k，使得????与l互素.
5
10．【2007高中数学联赛(第02试)】设集合P={1，2，3，4，5}.对任意k∈P和正整数m，记??(??,??)=∑
??=1
??+1??+1
[??
√]，其中[a]表示不大于a的最大整数.
求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得??(??,??)=??.
11．【2004高中数学联赛(第02试)】对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任意正整数m，集合{m，m+1，m+2，…，m+n－1}的任何一个f(n)元子集中，均有至少3个两两互素的元素.
12．【1995高中数学联赛(第02试)】求一切实数p，使得三次方程5??3?5(??+1)??2+(71???1)??+1=66??的三个根均为自然数.
13．【1994高中数学联赛(第02试)】将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项.
14．【1991高中数学联赛(第02试)】设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1，2，…
15．【1989高中数学联赛(第02试)】有n×n(n≤4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意地填入+1与－1两数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表成4k的形式，其中k∈Z).
16．【1985高中数学联赛(第02试)】在直角坐标系xOy中，点??(??1,??1)和点??(??2,??2)的坐标均为正整数.OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B'，A在y轴上的射影为A'，△OB'B的面积比△OA'A的面积大33.5.由??1,??1,??2,??2组成的四位数??1??2??2??1=??1?103+??2?102+??2?10+??1试求出所有这样的四位数，并写出求解过程.
17．【1984高中数学联赛(第02试)】设an是12+22+?+??2的个位数字，n=1，2，3，…….试证0.??1??2??????是有理数.
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1．设k、l、c均为正整数，证明：存在正整数a、b满足?????=???(??,??)，且??(示a、b的最大公因数，??(??)表示正整数m的所有不同正因子的个数2．求所有的正整数n，使得方程??2+??2+?+??2=??2有正整数解.
1
2
??
??+1
??(??)
??
)(??,??)
???=
??(??)??(
??)??,??
???，其中(a，b)表
.
111??+1
3．求证：不存在无穷多项的素数数列??1,??2,?,????,?，使得????+1=5????+4, ??=1,2,?. 4．设??，??是正整数，满足????|??2+??2+1.证明：??2+??2+1=3????. 5．求证：对任意的??∈???，32??+2?8???9能被64整除.
6．求最小的正整数??，使得当正整数点??≥??时，在前??个正整数构成的集合??={1,2,?,??}中，对任意??∈??总存在另一个数??∈??且??≠??，满足??+??为平方数．
7．设??∈??+，定义：??1=1，????+1=??????+2(??+1)(??=1,2?).证明：当??≥1时，????为整数，且????为奇数当且
??+2
2??
仅当??≡1或2(mod4).
8．已知??、??、??、??、??、??为整数，方程????5?2????4+3????3?5????2+7?????2024=0①有正整数解．证明：存
在无穷多个正整数??使得61|(11??5?7????4+5????3?3????2+2???????)． 9．已知????=∑???1??=0
10??(??=1,2,???)，求证：存在无穷多个正整数??，使??1,??2,???,????除以??的余数互不相同。
10．已知??(??≥3,??∈??+)个两两互质的正整数??1,??2,?,????满足：可以适当添加“+”或“-”使得其代数式的和为0.问：是否存在一组正整数??1,??2,?,????(允许有相同的)，使得对任意正整数??，都有??1+??1??,??2+??2??,?,????+??????两两互质.
11．(1)若??为奇素数,??、??、??∈N+,??|(?????),??|??,??≠?? ,证明： ???????????
??????????????
;
(2)若??,??是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数??,满足?????????是正整数.证明：??,??也是正整数. 12．已知??、??、??为正整数，且??(??+??)(??+????)是一个素数的幂.证明：1+
????
必为1+??的某个正整数次幂. ??
??
13．给定正整数??(??≥3).已知??1
14．对任意一个正整数??，设其十进制表达为???????????????1??2???????.证明：存在??∈??+，使得3??的十进制表达的前??位为??1??2???????.
15．证明：存在无数个满足如下条件的整数組(a,b,c,d)： (1)a>c>0，(a,c)=1；
(2)对任意给定的正整数k，恰有k个正整数n，使得(an+b)|(cn+d)。 16．设??是一个大于1的正整数，??是素数，??|(1)证明：??≡0(mod??)或??≡1(mod??)；
(2)若??是不同于??的素数，则?????1≡0(mod??)恰有??个不同的解(即模??互不同余). 17．求最大的正整数n，使得对于任意整数a，若(a，n)＝1，均有??2≡(mod??). 18．求最小的两个正整数m，使得47(??2+46??+713)为完全平方数.
19．证明：存在无穷多个正整数n，使得([√??]+[√])|??，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数。
5??
?????1???1
.
20．求所有素数p，使得??2|∑???1
??=1
??2??+1.
专题29初等数论(学生版)备战2021年高中数学联赛高中数学联赛二试试题分专题训练
