极坐标与参数方程15道典型题
1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为??4sin?，?cos(???4)?22．
（1）求C1与C2的直角坐标方程，并求出C1与C2的交点坐标；
（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为
3??x?t?a，求a,b的值． ?y?bt3?1（t为参数，t?R）
?2?（1）由极直互化公式得：
C1:x2?(y?2)2?4 C2:x?y?4?0 ………4分
联立方程解得交点坐标为(0,4),(2,2) ………5分
（2）由（1）知：P(0,2)，Q(1,3) 所以直线PQ：x?y?2?0， 化参数方程为普通方程：y?babx??1， 22?b?2?1对比系数得：? ，a??1,b?2………10分
ab?1??22?2.极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲
?x?t?m2?cos2??3线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为?，（t是参数，m是常
?y?2t?1数）
（1）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
（2）若C2与C1有两个不同的公共点，求m的取值范围.
解：（1）由极直互化公式得C1:?(cos??sin?)?3，所以x?y?3；---------------2分
22222
消去参数t得C2的方程：y?2x?2m?1 ----------------------4分
（2）由（1）知C1是双曲线，C2是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y得：
3x2?4(2m?1)x?4m2?4m?4?0，-------------------------7分
若直线和双曲线有两个不同的公共点， 则??16(2m?1)?12(4m?4m?4)?0， 解得：m?1或m??2-----------10分
22?x2y2?x??3?3t??1，直线l:?3.已知椭圆C:（t为参数）． 43??y?23?t（I）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（II）设??1,0?，若椭圆C上的点?满足到点?的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．
解：（Ⅰ）C：?
?x＝2cosθ，?y＝3sinθ（θ为为参数），l：x－3y＋9＝0．
2
2
…4分
（Ⅱ）设P(2cosθ，3sinθ),则|AP|＝(2cosθ－1)＋(3sinθ)＝2－cosθ，
|2cosθ－3sinθ＋9|2cosθ－3sinθ＋9
P到直线l的距离d＝＝．
22
3 422
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sinθ＋cosθ＝1，得sinθ＝， cosθ＝－．
55
8 33
故P－，．
55
() …10分
4..在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2． （Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程； p
（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋)＝2的距离的最大值．
4解：（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4．
消去ρ1，得曲线
………………………………5分
C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得
C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2．
C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝
32
， 2
32
故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋． ………………………………10
25.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为??42sin(???4)。现以极点O为原点，极轴为x1?x??2?t?2?轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为?（t为参数）。
?y??3?3t?2?（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l和曲线C交于A,B两点，定点P(?2,?3)，求|PA|?|PB|的值。 【解】
（1）??42sin(??22?4)?4sin??4cos?，所以?2?4?sin??4?cos?。
22 所以x?y?4x?4y?0，即(x?2)?(y?2)?8。…………………………3? 直线l的普通方程为3x?y?23?3?0。……………………………………5?
222（2）把l的参数方程代入x?y?4x?4y?0得：t?(4?53)t?33?0。
设A,B对应参数分别为t1,t2，则t1t2?33，点P(?2,?3)显然在l上，
由直线l参数t的几何意义知|PA||PB|?|t1t2|?33。…………………………10?
6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
sinθ．
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
.解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2
sinθ．
极坐标参数方程15道典型题(有答案)
