将?式代入①式得 f?k 解法二
假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为
f?kr????? ①
? ? 3?r式中，比例系数k是一个待定常数. 任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值{a}的乘积a?{a}[a]. 在同一单位制中，①式两边的物理量的单位的乘积必须相等
[f]?[r]?[?]?[?]? ②
力学的基本物理量有三个：质量M、长度L和时间T，对应的国际单位分别为千克（kg）、米（m）、秒（s）. 在国际单位制中，振动频率f的单位[f]为s，半径r的单位[r]为m，密度?的单位[?]为kg?m?3，表面张力系数
?1
?的单位[?]为
N?m?1=kg?(m?s?2)?m?1?kg?s?2，即有
[f]?s?1 ③ [r]?m ④ [?]?kg?m?3 ⑤ [?]?kg?s?2 ⑥ 若要使①式成立，必须满足
s?1?m??kg?m?3???kg?s?2??(kg)????m??3??s?2? ⑦
?由于在力学中质量M、长度L和时间T的单位三者之间的相互独立性，有 ??3??0， ⑧ ????0， ⑨ 2??1 ⑩ 解为
311 ???,???,?? ?
222将?式代入①式得 f?k
评分标准：本题12分. 第（1）问2分，答案正确2分；第（2）问3分，答案正确3分；
6
? ? ?r3第（3）问7分，⑦式2分，?式3分，?式2分（答案为f?的，也给这2分）.
二、(16分)
解法一：瓶内理想气体经历如下两个气体过程：
???f?kf?、或mm?r3放气(绝热膨胀)等容升温(pi,V0,T0,Ni)????????(p0,V0,T,Nf)??????(pf,V0,T0,Nf)
其中，(pi,V0,T0,Ni),(p0,V0,T,Nf)和(pf,V0,T0,Nf)分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数．根据理想气体方程pV?NkT，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等，有
①
另一方面，设V?是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为p0时的体积，即
绝热膨胀 (pi,V0,T0,Ni)?????(p0,V?,T,Ni)
pfpi?NfNi
此绝热过程满足
V0?p0????
V??pi?②
1/?
由状态方程有p0V??NikT和p0V0?NfkT，所以 ③
联立①②③式得
NfNi?V0 V??p0?? ?pi??pi?④ 此即
pf1/?
pip0 ??pi
lnpfln 7
⑤
由力学平衡条件有
pi?p0??ghi ⑥
pf?p0??ghf ⑦
式中，p0??gh0为瓶外的大气压强，?是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小.由⑤⑥⑦式得
ln(1?hi)h0 ??hhln(1?i)?ln(1?f)h0h0
⑧
利用近似关系式：当x?1, ln(1?x)?x，以及 hi/h0?1, hf/h0?1，有
??⑨
hi/h0hi?hi/h0?hf/h0hi?hf
评分标准：本题16分．①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分．
解法二：若仅考虑留在容器内的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程ab，再通过等容升温过程bc达到末态
绝热膨胀ab等容升温bc(pi,V1,T0)??????(p0,V0,T)??????(pf,V0,T0)
其中，中间态和末态的压强、(pi,V1,T0),(p0,V0,T)和(pf,V0,T0)分别是留在瓶内的气体在初态、体积与温度．留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程
ab: pi??1T0???p0??1T??①
bc: p0/T?pf/T0② 由①②式得
?p???0?
pi?pi?③ 此即
pf1/?
8
pip0 ??pi
lnpfln④
由力学平衡条件有
pi?p0??ghi ⑤
pf?p0??ghf ⑥
式中，p0??gh0为瓶外的大气压强，?是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小．由④⑤⑥式得
ln(1?hi)h0 ??hhln(1?i)?ln(1?f)h0h0
⑦
利用近似关系式：当x?1, ln(1?x)?x，以及 hi/h0?1, hf/h0?1，有
??⑧
hi/h0hi?hi/h0?hf/h0hi?hf
评分标准：本题16分．①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分．
三、（20分）
（1）平板受到重力PC、拉力QM0、铰链对三角形板的作用力NA和NB，各力及其作用点的坐标分别为：
PC?(0,?mgsin?,?mgcos?)，(0,0,h)；
QM0?(0,Q,0)， (x0,0,z0)；
bNA?(NAx,NAy,NAz)， (,0,0)；
2NB?(NBx,NBy,NBz)，
式中
9
b(?,0,0) 212b2a? h? 34是平板质心到x轴的距离.
平板所受力和（对O点的）力矩的平衡方程为
0① ?F?N?N?
xAxBx?Fy?Q?NAy?NBy?mgsin??0?Fz?NAz?NBz?mgcos??0 ?M x?mghsin??Q?z
0?0 ?Mbby?NBz2?NAz2?0
?Mz?Q?x0?NbbAy2?NBy2?0
联立以上各式解得
Q?mghsin?z， 0NAx??NBx，
NAy?mgsin???1?hb2x0??mgsin?2b(z?z)，N?By?1???hb2x0?00?2b(z?z)??
00?N1Az?NBz?2mgcos?
即
Qmghsin?M0?(0,z,0)0⑦
NA?(NAx,mgsin??2?hb2x0?1?b(z?)??,1mgcos?)0z0?2⑧
Nmgsin??hb2x0B?(?NAx,2??1?b(z?)??,1mgcos0z?)0?2⑨
10
② ③ ④ ⑤
⑥，，
2014年第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案（全Word版）
