高中数学课时跟踪检测：命题及其关系、充分条件与必要条件
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1．(张家港外国语学校检测)命题“若x2－4x＋3＝0,则x＝3”的逆否命题是________________________．
答案：若x≠3,则x2－4x＋3≠0
2．(苏州实验中学检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.命题甲：A＋C＝2B,且
a＋c＝2b；命题乙：△ABC是正三角形,则命题甲是命题乙的________ 条件．
答案：充要
3．“m＝3”是“两直线l1：mx＋3y＋2＝0和l2：x＋(m－2)y＋m－1＝0平行”的________条件．
答案：充要
4．(南京模拟)有下列命题： ①“若a＞b,则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题； ③“若x2＜4,则－2＜x＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,假命题． ②原命题的逆命题为：“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,真命题． ③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2,则x2≥4”,真命题． 答案：②③
5．若x＞5是x＞a的充分条件,则实数a的取值范围为__________． 解析：由x＞5是x＞a的充分条件知,{x|x＞5}?{x|x＞a},所以a≤5. 答案：(－∞,5]
6．(苏州中学检测)已知集合A＝{x|x(x－3)＜0},B＝{x||x－1|＜2},则“x∈A”是“x∈
B”的________条件．
解析：因为集合A＝(0,3),集合B＝(－1,3),所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件． 答案：充分不必要
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1．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是________________． 解析：依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”．
答案：“若一个数的平方是正数,则它是负数”
2．(南通中学高三测试)已知a,b都是实数,命题p：a＋b＝2；命题q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切,则p是q的________条件．
解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的圆心为(a,b),半径r＝2,直线x＋y＝0与圆相切,则圆心到直线的距离d＝
|a＋b|
＝2,解得|a＋b|＝2.即a＋b＝±2,所以p是q的充分不必要条件． 1＋1
答案：充分不必要
3．(南通模拟)设a,b都是不等于1的正数,则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的___________条件．
解析：因为3a＞3b＞3,所以a＞b＞1,此时loga3＜logb3；反之,若loga3＜logb3,则不一定11
得到3a＞3b＞3,例如当a＝,b＝时,loga3＜logb3成立,但推不出a＞b＞1.故“3a＞3b＞3”是
23“loga3＜logb3”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
4．(无锡一中检测)给出下列说法： ①“若x＋y＝
π
,则sin x＝cos y”的逆命题是假命题； 2
②“在△ABC中,sin B＞sin C是B＞C的充要条件”是真命题； ③x≤3是|x|≤3的充分不必要条件；
④命题“若x＜－1,则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x≥－1,则x2－2x－3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①,“若x＋y＝＝
π
,则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y,则x＋y2
π3π3π”,当x＝0,y＝时,有sin x＝cos y成立,但x＋y＝,故逆命题为假命题,①正确；222
对于②,在△ABC中,由正弦定理得sin B＞sin C?b＞c?B＞C,②正确；对于③,因为|x|≤3x≤3,所以x≤3是|x|≤3的必要不充分条件,故③错误；对于④,根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
5．(南通一中高三测试)已知命题p：a≤x≤a＋1,命题q：x2－4x＜0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________．
解析：令M＝{x|a≤x≤a＋1},N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．因为p是q的充分不必要条件,所以M?a＞0，N,所以?
?a＋1＜4，
2
解得0＜a＜3.
答案：(0,3)
?y≥x－1，
6．设p：实数x,y满足(x－1)＋(y－1)≤2,q：实数x,y满足?y≥1－x，
?y≤1，
2
则p是q的________条件．
解析：p表示以点(1,1)为圆心,2为半径的圆面(含边界),表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．
由图可知,p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分
7．在命题“若m＞－n,则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________．
解析：若m＝2,n＝3,则2＞－3,但22＜32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,若m＝－3,n＝－2,则(－3)2＞(－2)2,但－3＜2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
8．(常熟中学测试)给定下列命题： ①若k＞0,则方程x2＋2x－k＝0有实数根； ②若x＋y≠8,则x≠2或y≠6；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件； ④“若xy＝0,则x,y中至少有一个为零”的否命题． 其中真命题的序号是________．
解析：①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0,所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件,故③是假命题；④否命题：“若xy≠0,则x,y都不为零”是真命题．
答案：①②④
9．(天一中学期末)已知p：|x－1|＞2,q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0),若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________．
如图所示．q
解析：由|x－1|＞2,得x－1＞2或x－1＜－2,即x＞3或x＜－1. 由x2－2x＋1－a2≥0(a＞0),得[x－(1－a)][x－(1＋a)]≥0, 即x≥1＋a或x≤1－a,a＞0. 若q是p的必要不充分条件,
?a＞0，则?1＋a≤3，?1－a≥－1，
答案：(0,2]
解得0＜a≤2.
10．设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件．
解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn,又S4＝2S2, 所以a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2),所以a3＋a4＝a1＋a2,
所以q2＝1?|q|＝1,所以“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件． 答案：充要
11．(南师大附中检测)设p：实数x满足x2＋2ax－3a2＜0(a＞0),q：实数x满足x2＋2x－8＜0,且綈p是綈q的必要不充分条件,求a的取值范围．
解：由x2＋2ax－3a2＜0(a＞0),得－3a＜x＜a,即p：－3a＜x＜a. 由x2＋2x－8＜0,得－4＜x＜2,即q：－4＜x＜2. 因为綈p是綈q的必要不充分条件, 所以p能推出q,q不能推出p, 所以{x|－3a＜x＜a}
{x|－4＜x＜2},
?－3a≥－4，即?a＜2，?a＞0
?－3a＞－4，或?a≤2，?a＞0，
4?4?
解得0＜a≤,故a的取值范围是?0，?.
3?3?12．已知集合
????mx－1?
?＜0?A＝x???x???
,B＝{x|x2－3x－4≤0},C＝{x|log1x＞1},命题p：实数
2m为小于6的正整数,q：A是B成立的充分不必要条件,r：A是C成立的必要不充分条件．若命题p,q,r都是真命题,求实数m的值．
解：因为命题p是真命题, 所以0＜m＜6,m∈N, 所以
????mx－1??＜0?A＝x???x???
①
?1????
?＝x?0＜x＜?
m?????
.
由题意知,B＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4},
?x|log1C＝?
2?
x＞1?
?
?1????＝?x?0＜x＜???2????
.
因为命题q,r都是真命题,所以A1
??m≤4，所以?
11??m＞2.
B,CA,
②
由①②得m＝1.
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1．设{an}是公比为q的等比数列,则“q＞1”是“{an}为递增数列”的________条件． 解析：当等比数列{an}的首项a1＜0,公比q＞1时,如an＝－2n是递减数列,所以充分性不成立；
反之,若等比数列{an}为递增数列, ?a1＜0，则?
?0＜q＜1
?a1＞0，或?
?q＞1，
所以必要性不成立,即“q＞1”是“{an}为递增数列”的既
不充分也不必要条件．
答案：既不充分也不必要
2．(苏州木渎中学测试)若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题,则实数a的取值范围为________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立,当a＝0时,－3≤0成立； ?a＜0，当a≠0时,由?2
?Δ＝4a＋12a≤0，
得－3≤a＜0,
综上,实数a的取值范围为[－3,0]． 答案：[－3,0]
3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0},B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
高中数学课时跟踪检测：命题及其关系、充分条件与必要条件
