2024-2024学年北京市高三定位考试
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）D （3）D （4）B （ 5 ）C （6）C （7）B （8）C （9）D （10）A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）(??,0] （13）1 （15）①③④
三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分）
解：选条件①：a?4，c?6
（Ⅰ）在△ABC中，因为c2?a2?b2?2abcosC， 1 且cosC??，a?4，c?6
81所以36?16?b2?8b(?)
8
（12）2 (22,0)
（14）2π 1（答案不唯一）
…………3分
…………5分 …………8分
所以b?4，b??5（舍）． 由正弦定理得sinB?bsinC． c1因为cosC??，C?(0,π)
8所以sinC?1?cos2C?所以sinB?7． 437． 8…………9分 …………10分 …………13
37 81（Ⅱ）因为S△ABC?absinC
2分
在△ABC中，a?4，b?4，sinC?所以S△ABC?37．
…………14分
选条件②：a?4，△ABC为等腰三角形． （Ⅰ）在△ABC中，因为cosC??18，
所以C为钝角．
因为△ABC为等腰三角形， 所以C为顶角．
所以a?b?4．
因为c2?a2?b2?2abcosC， 所以c?6． 由正弦定理得sinB?bsinCc． 因为cosC??18，C?(0,π)
所以sinC?378． 所以sinB?74． （Ⅱ）因为S△ABC?12absinC 在△ABC中，a?4，b?4，sinC?378所以S△ABC?37．
…………2分 …………5分
…………8分
…………9分 …………10分 …………13分
…………14分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接EO．
因为ABCD?A1B1C1D1为长方体， 所以ABCD为矩形．
所以点O为BD中点． 又因为E为DD1中点， 所以在?BD1D中，OE
BD1．
…………2分 …………4分 …………5分
又OE?平面ACE，BD1?平面ACE， 所以BD1平面ACE．
（Ⅱ）以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标
系．…………6分
则A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,0,1),B1(1,1,2)，
所以EB1?(1,1,1)，EA?(1,0,?1)，EC?(0,1,?1)．
???????EB?EA?0，?所以?1
???????EB?EC?0．?1??????????EB?EA，所以?1
?EB1?EC．…………8分 …………9分 …………10分
又EAEC?E，
所以EB1?平面ACE．
（Ⅲ）因为ABCD?A1B1C1D1为长方体，
所以BC?平面DCC1D1
所以取平面ECC1的法向量为BC?(?1,0,0)， 再由（Ⅱ），取平面ACE的法向量为EB1?(1,1,1)．
??????
…………11分 …………12分
BC??所以cos?EB，1??????|EB1||BC|EB1?BC??????????????3． 3
由题知二面角A?CE?C1为钝角，所以其余弦值为?（18）（共14分）
3． 3…………14分
解：（Ⅰ）设事件A为“这位顾客两种手机都选择分4期付款”．
故P(A)?0.1?0.4?0.04．
（Ⅱ）X的所有可能值为600,650,700,750,800,850,900．
P(X?600)?0.4?0.4?0.16
…………1分 …………4分 …………5分
P(X?650)?C12?0.4?0.1?0.08
P(X?700)?0.1?0.1?C12?0.4?0.1?0.09
1P(X?750)?C12?0.4?0.4?C2?0.1?0.1?0.34
P(X?800)?0.1?0.1?C12?0.1?0.4?0.09 P(X?850)?C12?0.1?0.4?0.08 P(X?900)?0.4?0.4?0.16
所以X的分布列为
X P 600 650 700 750 800 850 900 0.16 0.08 0.09 0.34 0.09 0.08 0.16
（Ⅲ）D(x1)?D(x2)．
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为f(x)?(x?1)lnx?ax?a，
所以f?(x)?lnx?x?1?a． x…………11分 …………14分
…………2分
f?(1)?2?a．
由题设知f?(1)?tanπ?1， 4即2?a?1，解得a?1． （Ⅱ）设g(x)?f?(x)．
所以g?(x)?11x?1??2． xx2x…………5分
…………7分
令g?(x)?0,x?1．
因为当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)单调递减；
当x?(1,??)时，g?(x)?0，g(x)单调递增， 所以g(x)的最小值为g(1)?2?a， 即f?(x)的最小值为f?(1)?2?a． 因为f(x)在(0,??)上单调递增，
…………9分
所以f?(x)≥0对x?(0,??)成立． 所以2?a≥0． 所以a的最大值为2．
（Ⅲ）当a≤2时，f(x)只有1个零点．
当a?2时，f(x)有3个零点．
20）（共14分）
解：（Ⅰ）因为椭圆方程C:x2?y26?1，
所以a2?6,b2?1． 所以c2?5． 所以离心率e?ca?56?306． （Ⅱ）（i）设P(x1,y1),Q(?x1,?y1)x1??6．
由题设知，M(6,0)． 因为PQ?PM，
所以点P(x1,y1)在以线段OM为直径的圆上， 所以有(x1?62)2?y261?(2)2． 又x216?y21?1． 解得x1?65，x1?6（舍）． 所以x261?25,y2241?25． 所以PQ?2x221201?y1?5?2305． 又PM?(x22?1202401?6)?y15?5． 所以PQ?PM，即△PQM为等腰三角形．
（ii）法1：设 M(x2,y2)，且x2??x1,x1??6,x1?0.记直线PQ,PM,QM的斜率分别为kPQ,kPM,kQM. 所以kPQ?y1,k?y2?y1,ky?yPMQM?21x. 1x2?x1x2?x1因为PQ?PM， 所以kPQ?kPM??1. 2又k?y2PM?k?y2?y1y2?y1y21QMxx??. 2?1x2?x1x22?x21…………11分 …………12分 …………14分
…………1分 …………2分
…………4分
…………5分
…………6分 …………7分
…………9分
…………10分
…………11分
…………12分
（ ??x21?y21?1,因为??6?x2
?2?y2?62?1,所以y22?y211x22??2?x16. 所以k1PM?kQM??6.
所以
kPQk?6，即直线PQ和直线QM的斜率之比为6.QM（ii）法2：因为点P不是椭圆C的顶点， 所以直线PQ,PM,QM的斜率都存在且不为0，
设直线PM的方程为y?kx?m?km?0? ?y?kx?m由??222?x2?y2得?1?6k?x?12kmx?6m?6?0 ?6?1由??0,所以6k2?1?m2?0.
设 P(x1,y1),M(x2,y2),PM的中点T(x0,y0). 因为x?12km1?x2?1?6k2， 所以x?x1?x2?6km02?1?6k2
y0?kx0?m?m1?6k2，
因为OT∥QM, 所以ky01QM?kOT?x??k 06又因为PQ?QM, 所以k??1PQk.
?所以
k1PQkk??6.
QM?16k21）（共15分）
解：（Ⅰ）①不可以；②可以.
（Ⅱ）因为ak?k?|xk?xk?1|?m0?1，
…………13分
…………14分
…………12分
…………13分
…………14分
…………4分
（所以k?m0?1.
?m?i?1,i?[0,m?1]且i为偶数,??2当m0为奇数时，取xi??
m?i?2?,i?[0,m?1]且i为奇数.??2?m?i?2,i?[0,m?1]且i为偶数,??2当m0为偶数时，取xi??
m?i?1?,i?[0,m?1]且i为奇数.??2…………6分
此时k可取m0?1，所以kmax?m0?1．
（Ⅲ）设数列A:a1,a2,构造数列x0,x1,…………10分
,a2024满足ai?[0,1](i?1,2,,2024)， ,x2024如下：
?xi?ai?1,xi≤1, 其中i?1,2,x?a,x?1,i?1i?ix0?0,x1?a1，xi?1??,2024.
根据xi?1的定义知道，
当xi≤1时，因为ai?1?[0,1]，所以xi?1?[0,2]. 当xi?1时，因为ai?1?[0,1]，所以xi?1?[0,2]. ?|xi?ai?1?xi|,xi≤1,而|xi?1?xi|??
|x?a?x|,x?1,i?1ii?i?ai?1,xi≤1,所以|xi?1?xi|??
a,x?1,?i?1i所以任取数列A:a1,a2,
,a2024满足ai?[0,1](i?1,2,,2024)，均可以“嵌入” 区间[0,2]
北京市2024届高三下学期定位考试数学答案
