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高三数学模拟试卷

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妨设另一条切线方程为y?3?k(x?2),即kx?y?2k?3?0,由|?2k?3|k2?1?2得k?5为最小值,故 12m?5. 1216④⑤ 解析:f(x)?xcosx为奇函数,则函数f(x)在[??,0]和[0,?]上单调性相同,所以①错.由于

f(0)?0,f(?)???,所以②错.再由f(0)?0,f(2?)?2?,所以③错.

|f(x)|?|xcosx|?|x|g|cosx|?|x|,令M?1,则

||f(x)|?M|x|对一切实数x均成立,所以④对.由

f?(x)?cosx?xsinx?0得cosx?xsinx?0,显然

y cosx?0所以

11?tanx,易知方程?tanx的实根就是 xxf(x)的极值点。在除(?内y???,)外的正切函数的每一个周

22O x 期

1与y??tanx的图像有且只有一个交点,从下面的 x??5图像中易观察得x1?(,),x2?(?,?),故424?2?x2?x1??,所以⑤对.

17解:(1)由已知

2bcbc得根据正弦定理得: ??sin2AsinAsinAcosAsinA sinB?sinCcosA,而sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC 由此可得 sinAcosC?0,又因为三角形中sinA?0 所以cosC?0,得?C? (2)由(1)知A?B?所以sin(B?x)?sin(?2 …………6分

?2,

??A?x)?sin[?(A?x)]?cos(A?x) 22

?y?3sin?A?x??sin?B?x??3sin?A?x??cos?A?x?????2sin?A?x??6??因为x?[?????2?,0],A?[0,],故A?x??(?,) 32663????(?1,2],即值域为(?1,2]…………12分 6?所以y?2sin?A?x? 6 页 共 10 页 第

??18解 (1)当n?N*时有:Sn?2an?3n,?Sn?1?2an?1?3(n?1),

两式相减得:an?1?2an?1?2an?3,?an?1?2an?3,’

∴an?1?3?2(an?3),又a1?S1?2a1?3, ∴ a1?3,a1?3?6?0.

∴数列{an?3}是首项6,公比为2的等比数列.

n?1从而an?3?6?2,

∴an?3?2n?3.

nn?1(2)Sn?2(3?2?3)?3n?3?2?3n?6 n?1∴Sn?3n?9?3(2?1)

∴bn?12n?1?1?12n?1

11(1?)2n1112?1?1?1. Tn?2?3???n?1?2122n?122221?219(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B. 因为CA=CB,所以OC⊥AB.

由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面OA1C.故AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=3.

又A1C=6,则A1C=OC+OA1,故OA1⊥OC.

因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高. 又△ABC的面积S△ABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.

2

2

2

20(Ⅰ)由题意可知,c=1,又e=

所以b=a-c=1

2

2

2

2c=,解得a=2……… a2x22

所以椭圆的方程为+ y=1.…

2 7 页 共 10 页 第

(II)若直线l不垂直于x轴,可设l的方程为y=k(x-1).

?y?k(x?1),?由?x2

2??y?1,?2得(1+2k)x-4kx+2k-2=0.△=16k-4(1+2k)(2k-2)=8k+8>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

2

2

2

4

2

2

2

4k22k2?2x1+ x2=,x1 x2=.…设M(t,0),则MA=( x1-t,y1),MB =( x2-t,y2),

1?2k21?2k2MA?MB=(x1-t)(x2-t)+ y1 y2

= x1 x2- t(x1+ x2)+ t +k(x1-1)(x2-1) 2222

=(1+ k) x1 x2-( t +k)( x1+ x2)+ t +k

222222=(1+ k)2k?2-( t +k)4k2+ t +k

2

2

1?2k21?2k424222422=(2k?2k?2k?2)?(4k?4kt)?(2kt?2k?t?k)

1?2k2(2t2?4t?1)k2?(t2?2)= 21?2k(2t2?4t?1)k2?(t2?2)要使得MA?MB=λ(λ为常数),只要=λ,

1?2k22 2

即(2t2?4t?1?2?)k+ (t-2 -λ)=0.(*)

?2t2?4t?1?2??0,对于任意实数k,要使(*)式恒成立,只要?2

?t?2???0,4?t?,??5解得…若直线l垂直于x轴,其方程为x=1. ?????7.?16?此时,直线l与椭圆两交点为A(1,2)、B(1,一2),

22uuruur5112取点S(,0),有SA=(-,),SB=(-,-2),

44422uuruur11SA?SB=(-)×(-)+2×(-2)

44227=?=λ . 16 综上所述,过定点F(1,0)的动直线l与椭圆相交于A、B两点,当直线l绕点F转动时,存在定点M(

57,0),使得MA?MB=? 416(ax2-2ax?1)ex21解:f?(x)? 22(1?ax) 8 页 共 10 页 第

1是函数y?f(x)的一个极值点, 21 所以f?()?0

214 因此a?a?1?0 解得a?

34414经检验,当a?时,x?是y?f(x)的一个极值点,故所求a的值为.

323(1)因为x?………………………5分

(2)由(1)可知,

48(x2?x?1)ex3 f?(x)?3422(1?x)313令f?(x)?0,得x1?,x2?

22f(x)与f'(x)的变化情况如下: x 1(??,) 21 213(,) 223 23(,??) 2f?(x) + 0 3e 4- 0 ee 4+ f(x) 所以,f(x)的单调递增区间是(??,),(,??), 单调递减区间是(,) 当

123213221333?b?时,f(x)在[b,)上单调递减,在(,??)上单调递增

222232ee 4所以f(x)在[b,??)上的最小值为f()?当b?3时,f(x)在[b,??)上单调递增, 2eb3eb?所以f(x)在[b,??)上的最小值为f(b)?

1?ab23?4b2………………………………12分

22解:在ρsin?θ-

π?π3

=-中令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P?2,?, 3?4?2?

2

2

?

所以圆C的半径PC==2cosθ.

π2

+1-2×1×2cos=1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ

4

9 页 共 10 页 第

??2x?6,x?2?23解:(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=?2,2?x?4

?2x?6,x?4?当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1; 当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;

当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5; 所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.

??2a,x?0a?1a?1??x?(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=?4x?2a,0?x?a 由|h(x)|≤2,解得. 22?2a,x?a??a?1?1??2又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以?于是a=3.

a?1??2??2

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高三数学模拟试卷

妨设另一条切线方程为y?3?k(x?2),即kx?y?2k?3?0,由|?2k?3|k2?1?2得k?5为最小值,故12m?5.1216④⑤解析:f(x)?xcosx为奇函数,则函数f(x)在[??,0]和[0,?]上单调性相同,所以①错.由于f(0)?0,f(?)???,所以②错.再由f(0)?0,f(2?)?2?,所以③错.|f(x)|?|xcos
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