妨设另一条切线方程为y?3?k(x?2)，即kx?y?2k?3?0，由|?2k?3|k2?1?2得k?5为最小值，故 12m?5. 1216④⑤ 解析：f(x)?xcosx为奇函数，则函数f(x)在[??,0]和[0,?]上单调性相同，所以①错．由于
f(0)?0，f(?)???，所以②错．再由f(0)?0，f(2?)?2?，所以③错．
|f(x)|?|xcosx|?|x|g|cosx|?|x|，令M?1，则
||f(x)|?M|x|对一切实数x均成立，所以④对．由
f?(x)?cosx?xsinx?0得cosx?xsinx?0，显然
y cosx?0所以
11?tanx，易知方程?tanx的实根就是 xxf(x)的极值点。在除(?内y???,)外的正切函数的每一个周
22O x 期
1与y??tanx的图像有且只有一个交点，从下面的 x??5图像中易观察得x1?(,),x2?(?,?)，故424?2?x2?x1??，所以⑤对.
17解：（1）由已知
2bcbc得根据正弦定理得： ??sin2AsinAsinAcosAsinA sinB?sinCcosA，而sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC 由此可得 sinAcosC?0，又因为三角形中sinA?0 所以cosC?0，得?C? （2）由（1）知A?B?所以sin(B?x)?sin(?2 …………6分
?2，
??A?x)?sin[?(A?x)]?cos(A?x) 22
?y?3sin?A?x??sin?B?x??3sin?A?x??cos?A?x?????2sin?A?x??6??因为x?[?????2?,0]，A?[0,]，故A?x??(?,) 32663????(?1,2]，即值域为(?1,2]…………12分 6?所以y?2sin?A?x? 6 页 共 10 页 第
??18解 （1）当n?N*时有：Sn?2an?3n,?Sn?1?2an?1?3(n?1),
两式相减得：an?1?2an?1?2an?3,?an?1?2an?3，’
∴an?1?3?2(an?3)，又a1?S1?2a1?3， ∴ a1?3,a1?3?6?0．
∴数列{an?3}是首项6，公比为2的等比数列．
n?1从而an?3?6?2，
∴an?3?2n?3．
nn?1（2）Sn?2(3?2?3)?3n?3?2?3n?6 n?1∴Sn?3n?9?3(2?1)
∴bn?12n?1?1?12n?1
11(1?)2n1112?1?1?1． Tn?2?3???n?1?2122n?122221?219(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.故AB⊥A1C. (2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3.
又A1C＝6，则A1C＝OC＋OA1，故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.
2
2
2
20（Ⅰ）由题意可知，c=1，又e=
所以b=a-c=1
2
2
2
2c=，解得a=2……… a2x22
所以椭圆的方程为+ y=1．…
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（II）若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k（x-1）．
?y?k(x?1),?由?x2
2??y?1,?2得（1+2k）x-4kx+2k-2=0．△=16k-4（1+2k）（2k-2）=8k+8>0． 设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则
2
2
2
2
4
2
2
2
4k22k2?2x1+ x2=，x1 x2=．…设M（t，0），则MA=（ x1-t,y1），MB =（ x2-t,y2）,
1?2k21?2k2MA?MB=（x1-t）（x2-t）+ y1 y2
= x1 x2- t（x1+ x2）+ t +k（x1-1）（x2-1） 2222
=（1+ k） x1 x2-（ t +k）（ x1+ x2）+ t +k
222222=（1+ k）2k?2-（ t +k）4k2+ t +k
2
2
1?2k21?2k424222422=(2k?2k?2k?2)?(4k?4kt)?(2kt?2k?t?k)
1?2k2(2t2?4t?1)k2?(t2?2)= 21?2k(2t2?4t?1)k2?(t2?2)要使得MA?MB=λ（λ为常数），只要=λ，
1?2k22 2
即（2t2?4t?1?2?）k+ （t-2 -λ）=0．（*）
?2t2?4t?1?2??0,对于任意实数k，要使（*）式恒成立，只要?2
?t?2???0,4?t?,??5解得…若直线l垂直于x轴，其方程为x=1． ?????7.?16?此时，直线l与椭圆两交点为A（1，2）、B（1,一2）,
22uuruur5112取点S（，0），有SA=（-,）,SB=（-,-2）,
44422uuruur11SA?SB=（-）×（-）+2×（-2）
44227=?=λ ． 16 综上所述，过定点F（1，0）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点M（
57，0），使得MA?MB=? 416(ax2-2ax?1)ex21解：f?(x)? 22(1?ax) 8 页 共 10 页 第
1是函数y?f(x)的一个极值点， 21 所以f?()?0
214 因此a?a?1?0 解得a?
34414经检验，当a?时，x?是y?f(x)的一个极值点，故所求a的值为.
323（1）因为x?………………………5分
（2）由（1）可知，
48(x2?x?1)ex3 f?(x)?3422(1?x)313令f?(x)?0，得x1?,x2?
22f(x)与f'(x)的变化情况如下： x 1(??,) 21 213(,) 223 23(,??) 2f?(x) + 0 3e 4- 0 ee 4+ f(x) 所以，f(x)的单调递增区间是(??,),(,??), 单调递减区间是(,) 当
123213221333?b?时，f(x)在[b,)上单调递减，在(,??)上单调递增
222232ee 4所以f(x)在[b,??)上的最小值为f()?当b?3时，f(x)在[b,??)上单调递增， 2eb3eb?所以f(x)在[b,??)上的最小值为f(b)?
1?ab23?4b2………………………………12分
22解：在ρsin?θ－
π?π3
＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P?2，?， 3?4?2?
2
2
?
所以圆C的半径PC＝＝2cosθ.
π2
＋1－2×1×2cos＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ
4
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??2x?6,x?2?23解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝?2,2?x?4
?2x?6,x?4?当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1； 当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5； 所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
??2a,x?0a?1a?1??x?(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)=?4x?2a,0?x?a 由|h(x)|≤2，解得. 22?2a,x?a??a?1?1??2又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以?于是a＝3.
a?1??2??2
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高三数学模拟试卷
