第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷
题号 得分 复核人
一 二 三 四 五 2003年9月20日
六 七 总计 全卷共七题，总分为140分。 一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，
球表面处的电势为U=1000 V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以 Ek＝2000 eV 的动能沿与O?O平行的方向射向a．以l表示b与O?O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．
解：令m表示质子的质量，v0和v分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，e表示元电荷，由能量守恒可知
1212mv0?mv?eU （1） 22因为a不动，可取其球心O为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O点的角动量守恒。所求l的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚
好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以lmax表示l的最大值，由角动量守恒有
mv0lmax?mvR （2）
由式（1）、（2）可得lmax?1?eUR （3） 2mv0/2代入数据，可得lmax?2R （4） 2若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中
6R （5） 2评分标准：本题15分。式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。
二、（15分）U形管的两支管 A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分
e改为?e。同理可求得lmax?别为 SA?1.0?10?2cm2，SB?3.0?10?2cm2，SC?2.0?10?2cm2，在 C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为t1?27℃时，空气柱长为l＝30 cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为 a＝2.0cm，b＝3.0cm，
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A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h＝12 cm．大气压强保持为 p0＝76 cmHg不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 t＝97℃时空气的体积．
解：在温度为T1?(27?273)K=300K时，气柱中的空气的压强和体积分别为
p1?p0?h， （1） V1?lSC （2）
当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到T2时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大?h?bSC （3） SB由此造成气柱中空气体积的增大量为?V??bSC （4）
与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大?h，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为?V????hSA （5） 所以，当温度为T2时空气的体积和压强分别为V2?V1??V???V?? （6）
p2?p1??h （7）
由状态方程知
p1V1p2V2 （8） ?T1T2由以上各式，代入数据可得T2?347.7K （9）
此值小于题给的最终温度T?273?t?370K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达T时，气柱体积为V?TV2 （10） T2代入数据可得V?0.72cm3 （11）
评分标准：本题15分。求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。
三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径R0＝6400 km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．
解：位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为
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F?GM?m， （1） r2式中M?是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以?表示地球的密度，此质量可以表示为M??4??r3 （2） 343于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为 F??G?mr （3） 作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小
x （5） r?为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中
点C的距离，力的方向指向通道的中点C。在地面上物体的重力可以表示为
f?Fsin? （4） sin?? mg?GM0m （6） 2R0式中M0是地球的质量。由上式可以得到 g??G?R0 （7）
由以上各式可以求得 f?43mgx （8） R0mg （9） R0可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为k?物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为T?2?R0/g。取x?0处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x?0处的速度为v0，则根据能量守恒，有
1212mv0?k(R0?h2) （10） 222v02R0?h2?g （11）
R0式中h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得
可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。
设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是v0，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有 Mv0?mv0?MV?mv， （12）
112112Mv0?mv0?MV2?mv2 （13） 22223M?m解式（12）和式（13），得 v?v0 （14）
M?m质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有
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1112k(R0?h2)?mu2?mv2 （15） 2222?h28M(M?m)R0g （16） 由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得u?2R0(M?m)2u的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能
M0mu2使小卫星绕地球作圆周运动，则有G2?m （17）
R0R0R由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到h?027M2?10Mm?m2 （18）
2M(M?m)已知M?20m，则得h?0.925R0?5920km （19）
评分标准：本题20分。
求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。
四、(20分)如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为h0的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．
解：图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i?，折射光线与坐
标轴的交点在P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有 （1） 在?OMP
sini??n sinilx （2） ?sinisini?l2?R2?x2?2Rxcosi （3） 由式（1）和式（2）得 x?nl
再由式（3）得x2?n2(R2?x2?2Rxcosi) 设M点到Ox的距离为h，有 h?Rsini
Rcosi?R2?R2sin2i?R2?h2 x21得2?R2?x2?2xR2?h2 x2(1?2)?2xR2?h2?R2?0 （4） nnn2R2?h2?nR2?n2h2解式（4）可得x? （5）
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为排除上式中应舍弃的解，令h?0，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式
x?n(n?1)nnR?R或R
n?1n?1n2?1n2R2?h2?nR2?n2h2由图可知，应有x?R，故式（5）中应排除±号中的负号，所以x应表示为x? （6） 2n?1上式给出x随h变化的关系。
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有h?h0，其中折射光线与Ox轴交点最
22n2R2?h0?nR2?n2h0远处的坐标为x0?n2?1 （7）
在轴上x?x0处，无光线通过。
随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角iC时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角iC相应的光线有 hC?RsiniC?R1 nn2R1?1n2?nRn?12这光线的折射线与轴线的交点处于 xC?在轴Ox上R?x?xC处没有折射光线通过。
n2?1 （8）
由以上分析可知，在轴Ox上玻璃半球以右 xC?x?x0 （9） 的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。x0与xC就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示
评分标准：本题20分。
求得式（7）并指出在Ox轴上x?x0处无光线通过，给10分；求得式（8）并指出在Ox轴上x?x0处无光线通过，给
6分；得到式（9）并指出Ox上有光线段的位置，给4分。
五、(22分)有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．
己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？
解：放上圆柱B后，圆柱B有向下运动的倾向，对圆柱A和墙面有压力。圆柱A倾向于向左运动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡
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