?1?t2x?，?2?1?t（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为???y?4t?1?t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）
1a?1b?1c?a2?b2?c2； （2）(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?24．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学?参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 14．
1213 15．0.18 16．2
三、解答题
17．解：（1）由已知得sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC，故由正弦定理得b2?c2?a2?bc．
由余弦定理得cosA?b2?c2?a212bc?2． 因为0??A?180?，所以A?60?．
（2）由（1）知B?120??C，由题设及正弦定理得2sinA?sin?120??C??2sinC，
16
即
62?32cosC?12sinC?2sinC，可得cos?C?60????22． 由于0??C?120?，所以sin?C?60???22，故 sinC?sin?C?60??60??
?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60? ?6?24． ．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=
12B1C． 又因为N为A11D的中点，所以ND=
2A1D． 由题设知A1B1?PDC，可得B1C?PA1D，故ME?PND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DAuuur的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则18
17
uuuruuuurA(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，uuuuruuuurA1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．
uuuur??m?A1M?0uuur设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?， ??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．
???4z?0．uuuur??n?MN?0，n?(p,q,r)r设为平面A1MN的法向量，则?uuuu
n?AN?0．??1???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．
???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．
22?4? 18
3?12(t?1)?y?x?t22由?，可得9x?12(t?1)x?4t?0，则x1?x2??． 292??y?3x从而?12(t?1)57?，得t??． 928所以l的方程为y?37x?． 28uuuruuur（2）由AP?3PB可得y1??3y2．
3??y?x?t2由?，可得y?2y?2t?0． 22??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3． 代入C的方程得x1?3,x2?1． 3故|AB|?413． 320．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?. 2(1?x)1?x当x???1,设为?.
?????????1,时，单调递减，而，可得在g'(x)g'(x)g'(0)?0,g'()?0???有唯一零点，
22?2??则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2?所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,????????1,单调递减，故在g(x)???存在唯一极大值点，即f'(x)2?2??在??1,?????存在唯一极大值点. 2?（2）f(x)的定义域为(?1,??).
（i）当x?(?1,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)时，
19
f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.
（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减，而f'(0)=0，
22???????????????????f'???0，所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当x?(0,?)时，f'(x)?0；当x???,??2??2??2?时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递增，在??,?????单调递减. 2?又f(0)=0，f?有零点. （iii）当x????????????????1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，f(x)在?0,?没?2??2??2??2???????,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而
?2??2????f???0，f(?)?0，所以?2????f(x)在?,??有唯一零点.
?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点. 21．解：X的所有可能取值为?1,0,1.
P(X??1)?(1??)?， P(X?0)????(1??)(1??)，P(X?1)??(1??)，所以X的分布列为
（2）（i）由（1）得a?0.4,b?0.5,c?0.1.
因此pi=0.4pi?1+0.5 pi+0.1pi?1，故0.1?pi?1?pi??0.4?pi?pi?1?，即
pi?1?pi?4?pi?pi?1?.
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2018年-2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,含答案)
