两边平方得：∴∴，
， ，
整理得：c2-2c-8=0， 解得：c=4．
18. 解：（Ⅰ）取AA?的中点G，连接DG，EG， 则DG∥A?C?，
E，G为中点，所以EG∥BA?，
DG?平面BA?C?，A?C??平面BA?C?，
故DG∥平面BA?C?，同理EG∥平面BA?C?， 又DG∩EG=G，
故平面DEG∥平面BA?C?，DE?平面EDG， 所以DE∥BA?C?；
（II）以B 为原点，BA，BB?，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
B?（0，3，0），A?（2，3，0），C（0，0，1），C?（0，3，1），
设F（0，a，1），A（2，0，0），平面ABB1A1所的法向量为由cos＜＞=，a=2， =（0，2，1），=（2，3，0）， ， ，
，
故F（0，2，1），设平面FBA?的法向量为由，得，
由cos＜＞=，
．
由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为（Ⅰ）设A={出现A症状的人}，B={出现B症状的人}，C={出现C症状的人}，19. 解：
card表示有限集合元素的个数，
根据数据1，可知card（A∩B）=1.8万，card（A∩C）=1万，card（B∩C）=2万，card（A∩B∩C）=0.5万，
=cardA+cardB+cardC-[card+card+card]+card所以card（A∪B∪C）（A∩B）（A∩C）（B∩C）
（A∩B∩C）=8.5+9.3+6.5-（1.8+1+2）+0.5=20万，
所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%；
2列联表如下： （Ⅱ）根据题意，2×
失眠 不失眠 合计 第6页，共16页
患心脑血管疾病 合计 所以 5 20 7 73 80 ＞3.841，
12 88 100 不患心脑血管疾病 15 故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”．
20. 解：（Ⅰ）定圆⊙F：（x-1）2+y2=，圆心F（1，0），半径为，设点P（x，y），由动圆P既与直线l：x=-相切，又与定圆F相外切，知x＞-， ∴，
化简得：y2=4x，
∴动圆圆心P的轨迹C的方程为：y2=4x；
y=kx+m（k≠0）（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：，
设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方， 联立方程，消去y得，k2x2+（2km-4）x+m2=0，
∴，，
=，
）
，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=∵S1=∴4S1S3=-（y1y2）（x1=-=-=××，S3=）（ ，
∵直线MN的方程为：y=kx+m，设直线MN与x轴的交点为点B， 令y=0得，x=-，∴B（-，0）， ∴S2=∴=（-+）2（y1-y2）2
×，
=×=×=× ×[4（x2+x1）-2y1y2] × 第7页，共16页
=，
∵S22=4S1S3，
∴4k2-4k3m+16m2-16km3-16mk+16k2m2=-16km3-32km+16k2m2-4k3m， ∴4k2+16m2+16mk=0， 即k2+4m2+4km=0， ∴（k+2m）2=0， ∴k=-2m，
∴直线MN的方程为：y=-2mx+m=-2m（x-）， ∴直线MN过定点（，0）．
21. 解：（Ⅰ）f′（x）=ln（x+1）-ax=g（x），（x∈（-1，+∞））．
g′（x）=-a，
a≤0时，g′（x）＞0，函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增． a＞0时，g′（x）=∴f'（x）在， 上单调递增；在上单调递减；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，可得f（x）在（0，+∞）上不单调，有极大值点．
由（I）可得：a＞0，f′（0）=0． 令ln（x+1）-ax=0， 化为：a=h′（x）==h（x），
．
令u（x）=x-（x+1）ln（x+1），x∈（0，+∞）．u（0）=0． u′（x）=1-ln（x+1）-1=-ln（x+1）＜0． ∴u（x）＜u（0）=0． ∴h′（x）＜0，
函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减． x→0+时，h（x）→∴0＜a＜1．
（Ⅰ）参数方程22. 解：到曲线C：；
．转化为直角坐标方程为：=0的距离d==； ，
（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得=1．x→+∞时，h（x）→0．
曲线D的极坐标方程为sinθ）（Ⅱ）设点P（2cosθ，到直线x+y-3当sin（θ+α）=1时，dmin=．
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23. 解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|+|x-3|=∵f（x）＞9，∴或，
．
∴x＞5或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞5或x＜-4} （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min=5． ∵不等式f（x）≤|3m-2|有解， ∴|3m-2|≥f（x）min=5， ∴3m-2≥5或3m-2≤-5， ∴，
．
∴m的取值范围为【解析】
1. 解：集合A={x|x2-2x-3＜0}=（-1，3），
=（0，1），
A∪B=B，
则?R（A∪B）=（-∞，-1]∪[3，+∞） 故选：B．
求出集合A，B，再计算结论． 考查集合的交并补运算，基础题． 2. 解：由z=a+bi（a，b∈R）， 得=，
由题意，b-a=0． 故选：B．
把z=a+bi（a，b∈R）代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 解：对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误． 对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．
对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．
对于选项D，直线m?α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确． 故选：D．
直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
4. 解：由题意任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，
3+1=40， 第一步：n=13为奇数，则n=13×第二步，n=40为偶数，则n=，
第三步，n=20为偶数，则n==10，
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第四步，n=10为偶数，则n==5， 3+1=16， 第五步，n=5为奇数，则n=5×第六步，n=16为偶数，则n=第七步，n=8为偶数，则n==4， 第八步，n=4为偶数，则n==2， 第九步，n=2为偶数，则n==1．
∴取n=13，要想算出结果1，共需要经过的运算步数是9．
故选：A．
由题意任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，依次递推，得到1，由此能求出共需要经过的运算步数．
本题考查运算步骤的求法，考查观察分析、归纳推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
5. 解：a=ln3＞1＞b=log3e＞c=logπe， ∴a＞b＞c， 故选：B．
利用对数函数的单调性即可得出．
本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
，
6. 解：∵?==（）=（+）=32+×3×3×cos120°=6；
故选：A．
运用向量的加法的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，即可计算得到． 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题
7. 解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（0，2，1）， =（0，-2，0），（-2，-2，2），
=0，∴S△ABF===，
=（-2，0，1），=设平面ABF的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，0，2），
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2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)(带答案)
