2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽
宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，，则?R（A∪B）=（ ）
A. （-∞，-1）∪（3，+∞） C. [3，+∞）
2. 已知复数z=a+bi（a，b∈R），B. （-∞，-1]∪[3，+∞） D. （-∞，-1]∪[1，+∞）
是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式
为（ ） A. a+b=0 B. a-b=0 C. a-2b=0 D. a+2b=0 3. 已知α，β是两个不同的平面，直线m?α，下列命题中正确的是（ ）
A. 若α⊥β，则m∥β B. 若α⊥β，则m⊥β C. 若m∥β，则α∥β D. 若m⊥β，则α⊥β
4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数
n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n=13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
5. 已知a=ln3，b=log3e，c=logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是
（ ） A. b＜a＜c B. c＜b＜a C. b＜c＜a D. a＜b＜c 6. 已知在边长为3的等边△ABC的中，，则=（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. -6
ED⊥平面ABCD，7. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，
FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则四面体A-BEF的体积为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 已知函数于y轴对称，则φ=（ ）
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的图象向右平移个单位后，其图象关A. 9. 已知椭圆B. C. D. =1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线
=0，则椭圆的离心率取值范围为（ ） x=上存在一点P满足A. B. C. D. 10. 已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[1，+∞）时，f（x）
=，则函数f（x）的图象与函数g（x）=的图象在区间[-5，7]上所有交点的横坐标之和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7
11. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+2，将这个数列中的项
摆放成如图所示的数阵，记bn为数阵从左至右的n列，从
上到下的n行共n2个数的和，则数列（ ）
的前2020项和为
D. 9
A. B. C. D.
12. 已知双曲线F2，的左、右焦点分别为F1，点P在双曲线上，且∠F1PF2=120°，
∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|=（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不
断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______．
14. 已知函数f（x）=ex+ae-x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为______． 15. 数列{an}满足a1=1，an（2Sn-1）=2Sn2（n≥2，n∈N*），则an=______．
16. 已知函数f（x）=（x2-a）2-3|x2-1|-b，当______时（从①②③④中选出一个作为条件）
函数有______．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）
①a≤-②＜a＜③a=1，-2＜b＜0④a=1，极小值点⑦6个零点⑧4个零点
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
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或b=0⑤4个极小值点⑥1个
17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a+c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2，D为AC的中点，且BD=，求c．
18. 如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，BB1⊥平面ABC，
AB⊥BC，AB=2，BC=1，BB1=3，D是CC1的中点，E是AB的中点．
（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；
（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面
ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F-BA1-A的余弦值．
19. 为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人
群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：
数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；
数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．
（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？ （Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？ 患心脑血管疾病 不患心脑血管疾病 合计 参考数据如表：
失眠 不失眠 合计 第3页，共16页
P（K2≥k0） k0 P（K2≥k0） k0 参考公式：
0.50 0.455 0.05 3.841 0.40 0.708 0.025 5.024 ．
0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828 20. 已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x=-相切，与定圆⊙F：（x-1）2+y2=相外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；
（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22=4S1S3，证明：直线MN过定点．
21. 已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）--x（a∈R）．
（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换
得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
D的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．
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23 设函数f（x）=|x+2|+|x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；
（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m-2|有解，求实数m的取值范围．
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽
宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）
答案和解析
【答案】 1. B 2. B 3. D
4. A 5. B 6. A
7. B
8. D 9. C
10. C 11. D 12. B
13. 14. （1，e2） 15.
16. ③a=1，-2＜b＜0 ⑦6个零点 17. 解：（I）由已知以及正弦定理，
可得：2sinBcosC=2sinA+sinC=2sin（B+C）+sinC=2sinBcoC+2cosBsinC+sinC， 所以：2cosBsinC+sinC=0， 由于：0＜C＜π，sinC≠0， cosB=-，
因为B∈（0，π）， 解得：B=；
（Ⅱ）如图所示：，
∵D为AC的中点，∴，
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2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)(带答案)
