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模块七 定积分〔应用〕
Ⅰ经典习题
一．平面图形的计算
1、曲线y?e?xsinx?0?x?3??与x轴所围成图形的面积可表示为〔〕
3?0?A???0?03?esinxdx?B??e?xsinxdx
?x2?3??C??e?xsinxdx??e?xsinxdx??e?xsinxdx
?2??D??02?esinxdx??e?xsinxdx
2??x3?2、设b为常数
2x3?bx?1〔1〕求曲线L:y?的斜渐近线〔记为l〕的方程
x(x?2)〔2〕设L与l从x?1延伸到x???之间的图线的面积A为有限值，求b,A 3、曲线y?x2与直线y?x?2所围成的平面图形的面积为_________.
24、假设曲线L1：y?1?x?0?x?1?、x轴和y轴所围区域被曲线L2：y?ax2分为面
积相等的两局部,其中a是大于零的常数,试确定a的值. 5、求曲线y?积最小. 6、计算抛物线y2x的一条切线l,使该曲线与切线l与直线x?0,x?2所围成的平面图形面
?2x与直线y?x?4所围成的图形面积。
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x2y27、求椭圆2?2?1所围成图形的面积。
ab8、求以下各曲线围成的图形的面积 〔1〕??2acos?
〔2〕??2a?2?cos??
二．简单几何体的体积
9、曲线y?1??x?1?与直线y?0围成的图形绕y轴旋转而成的立体的体积是〔〕
2?A??0??1?111?ydy?B???1?1?ydy
0?21??21?1?y??1?1?y?dy ?C??0????1?1?y?D??0????1???2?2????1?1?y?x?dy ????210、设曲线方程为y?e〔1〕把曲线y?e?x(x?0).
、x轴、y轴和直线x??(??0)所围平面图形绕x轴旋转一周，得一
1limV(?)的a 2????(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.
旋转体，求此旋转体体积V(?);求满足V(a)?11、设抛物线y?ax2?bx?c过原点，当0?x?1时y?0,又该抛物线与x轴与直线x?11所围图形的面积为.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
312、过坐标原点作曲线y?e的切线，该切线与曲线y?e以与x轴围成的向x轴负向无限延伸的平面图形记为D 〔1〕求D的面积
〔2〕求D饶直线x?1所成旋转体体积V
13、设曲线y?ax〔x?0,a?0〕与曲线y?1?x交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y?ax围成一平面图形D
〔1〕求D饶x轴旋转一周所成的旋转体体积V(a) 〔2〕求a的值使V(a)为最大
222xx2 / 11
14、在曲线y?x(x?0)上某点A处作切线，使之与曲线与x轴所围图形的面积为求：
〔1〕切点A的坐标；〔2〕过切点A的切线方程；
〔3〕由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。
15、过原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx以与x围成平面图形D 〔1〕求D的面积
〔2〕求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V
21,试1216、求曲线y?3?|x?1|与x轴围成的封闭图形绕直线y?3旋转所得的旋转体体积. 17、设曲线y2?4ax与直线x?x0?x0?0?所围成图形绕x轴旋转的体积。
2三．曲线弧长〔*数学一、数学二〕
18、曲线r?ae?b??a?0,b?0?，从??0到??????0?的弧长为〔〕
?0?A?s??0aeb?1?b2d??B?s???C?s???201??abeb?2?d?
21??aeb??d??D?s??abeb?1??abeb??d?
0?19、计算曲线y?lnx上相应于3?x?8的一段弧长。 20、求对数螺旋线??e，相应于0????的一段弧长。 21、求曲线???1，相应于
a?34???的一段弧长。 4322、求心形线??a?1?cos??的全长。 23、求抛物线y?12x，被圆x2?y2?3所截下的有限局部弧长。 2四．旋转曲面面积〔*数学一、数学二〕
24、摆线的参数方程为??x?a(t?sint)，其中0?t?2?，常数a?0，设摆线一拱的弧长
?y?a(1?cost)的数值等于该弧段饶x轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值，求a 25、设有曲线y?切线与x轴围成的平面图形绕x 轴x?1,过原点作其切线,求由此曲线、
旋转一周所得到的旋转体的外表积. 26、由曲线段y?1x(0?x?2)绕x轴的旋转面面积. 23 / 11
考研数学高等数学强化习题-定积分(应用)
