即所求点M的轨迹方程为x2-y2=2(x>0). 答案:x2-y2=2(x>0)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知点C(1,0),点A,B是☉O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足·
=0,设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程.
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)连接CP,OP,由所以|CP|=|AP|=|BP|=|AB|, 由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2, 即|OP|2+|CP|2=9,
设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9, 化简,得x2-x+y2=4.
·
=0,知AC⊥BC,
(2)存在.根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px(p>0)上,其中=1. 所以p=2,故抛物线方程为y2=4x, 由方程组
解得x1=1,x2=-4,由x≥0, 故取x=1,此时y=±2.
所以满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2). 10.已知点A(-2,0),P是☉O:
x2+y2=4上任意一点,P在x轴上的射影为Q,2
=
得x2+3x-4=0,
,动点G的轨迹为C,直线y=kx(k≠0)与轨迹C交于E,F两点,直
线AE,AF分别与y轴交于点M,N. (1)求轨迹C的方程.
(2)以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
【解析】(1)设G(x,y),所以Q(x,0), 因为
=2
,所以P(x,2y),
因为P在☉O:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4. 所以轨迹C的方程为+y2=1. (2)经过定点.
设点E(x0,y0)(不妨设x0>0), 则点F(-x0,-y0). 由
消去y得x2=
.
所以x0=,则y0=.
(x+2).
所以直线AE的方程为y=则M同理可得点N
.
.
所以|MN|==.
设MN的中点为P,则点P的坐标为则以MN为直径的圆的方程为 x2+
.
=,
即x2+y2+y=1.
令y=0,得x2=1,即x=1或x=-1.
故以MN为直径的圆经过两定点(1,0),(-1,0).
……………………20分钟 40分
1.(5分)已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=
,则点P的轨迹方程为 ( )
A.y=-2x B.y=2x C.y=2x-8 D.y=2x+4
【解析】选B.设P(x,y),R(x1,y1),由
=
知,
点A是线段RP的中点,所以即
因为点R(x1,y1)在直线y=2x-4上, 所以y1=2x1-4,所以-y=2(2-x)-4,即y=2x.
2.(5分)(2020·安顺模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若
=2
,且
·
=1,则点P的轨迹方程是 ( )
A.x2+3y2=1(x>0,y>0) B.x2-3y2=1(x>0,y>0) C.3x2-y2=1(x>0,y>0) D.3x2+y2=1(x>0,y>0)
【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0. 由
=2
得(x,y-b)=2(a-x,-y),
即a=x>0,b=3y>0,点Q(-x,y),
故由·=1得(-x,y)·(-a,b)=1,
即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0).
3.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2
,在y轴上截得的线段长为2
,则圆心P的轨迹方程为
________.
【解析】设P(x,y),圆P的半径为r,由题设知y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3,故圆心P的轨迹方程为y2-x2=1. 答案:y2-x2=1
4.(5分)设F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任意一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________.
【解析】由题意,延长F1D,F2A相交于点B,易证Rt△ABD≌Rt△AF1D, 则|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,
又O为F1F2的中点,连接OD,则OD∥F2B,从而可知
|DO|=|F2B|=(|AF1|+|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),则x2+y2=4. 答案:x2+y2=4
2021版高考数学理科人教核心讲练大一轮复习课时分层提升练 五十三 曲线与方程
