all~试题 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1???xcos,若x?0,(1) 设f(x)?? 其导函数在x?0处连续，则?的取值范围是x若x?0,??0,22(2) 已知曲线y?x?3ax?b与x轴相切，则b可以通过a表示为b?32.
.
(3) 设a?0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则
0,其他，? .
I???f(x)g(y?x)dxdy=
DTT(4) 设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵A?E???，
1??T，其中A的逆矩阵为B，则a? . a(5) 设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为
B?E? .
(6) 设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，
1n2则当n??时，Yn??Xi依概率收敛于
ni?1 .
二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x) ( ) x(A) 在x?0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x?0. (C) 在x?0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x?0.
(2) 设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是 ( )
(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. (B)f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. (3) 设pn?an?an2，qn?an?an2，n?1,2,?，则下列命题正确的是 ( )
梦想不会辜负一个努力的人
all~试题 (A) 若
?an?1??n条件收敛，则
?pn?1??n与
?qn?1??n都收敛.
(B) 若
?an?1n绝对收敛，则
?pn?1n与
?qn?1n都收敛.
a?b(C) 若?an条件收敛，则?pn与?qn敛散性都不定.
n?1n?1n?1???(D) 若
?an?1?n绝对收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n敛散性都不定.
?abb???(4) 设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( ) ????bba??(A) a?b或a?2b?0. (B) a?b或a?2b?0.
(C) a?b且a?2b?0. (D) a?b且a?2b?0.
(5) 设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是 ( )
(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关.
(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有
k1?1?k2?2???ks?s?0.
(C) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正 面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件( ) (A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立. (C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立.
梦想不会辜负一个努力的人
all~试题 三 、(本题满分8分)
设f(x)?续.
四 、(本题满分8分)
11111??,x?[,1)，试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连?xsin?x?(1?x)22?2f?2f12??1设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又g(x,y)?f[xy,(x?y2)], 22?u?v2?2g?2g求?2. 2?x?y
五 、(本题满分8分)
计算二重积分
I???e?(xD2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.
其中积分区域D?{(x,y)x2?y2??}.
六、(本题满分9分)
x2n(x?1)的和函数f(x)及其极值. 求幂级数1??(?1)2nn?1?n
七、(本题满分9分)
设F(x)?f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件： f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)?0, f(x)?g(x)?2e. (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、(本题满分8分)
设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1. 试证：必存在??(0,3)，使f?(?)?0.
九、(本题满分13分)
已知齐次线性方程组
x梦想不会辜负一个努力的人
all~试题 ?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn其中
?0,?0,?0, ?0,?ai?1ni?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
十、(本题满分13分)
T222设二次型f(x1,x2,x3)?XAX?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，
中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.
(1) 求a,b的值；
(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
十一、(本题满分13分)
设随机变量X的概率密度为
?1,若x?[1,8],? f(x)??33x2
其他;??0,F(X)是X的分布函数. 求随机变量Y?F(X)的分布函数.
十二、(本题满分13分)
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
2??1 X~??0.30.7??，
??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U?X?Y的概率密度g(u).
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
梦想不会辜负一个努力的人
all~试题
一、填空题
(1)【答案】??2
【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】?是参变量，x是函数f(x)的自变量
f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?limx?0x?0x?0x?cos1x?limx??1cos1?0，
x?0xx要使该式成立，必须limx??1?0，即??1.
当x?(??,0)U(0,??)时，
11f?(x)??x??1cos?x??2sin
xx要使f?(x)?0在x?0处连续，由函数连续的定义应有
11??limf?(x)?lim??x??1cos?x??2sin??f?(x)?0 x?0x?0xx??由该式得出??2. 所以f?(x)在x?0处右连续的充要条件是??2．
(2)【答案】4a
【详解】设曲线与x轴相切的切点为(x0,0)，则y?x?x?0. 而y??3x2?3a2，有3x02?3a2
063?3a2x0?b?0，故 又在此点y坐标为0(切点在x轴上)，于是有x032b?x0?3a2x0?x0(x0?3a2)，
22222246所以 b?x0(3a?x0)?a?4a?4a.
(3)【答案】a
【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．
2I???f(x)g(y?x)dxdy=
D0?x?10?y?x?1??a2dxdy=a2?0dx?xdy?a2?0[(x?1)?x]dx?a2
1x?11梦想不会辜负一个努力的人
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
