数学八年级上册提公因式法(基础)知识讲
解
y提公因式法(基础)
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系;
2. 能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,
而不是部分,因式分解的结果只能是整式的积的形式.
(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒
等变形,而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式,那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释:(1)公因式必须是每一项中都含有的因式.
(2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式. (3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分:①公因式的系数是各项系数
的最大公约数.②字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式
m,另一个因式是
,即,而正好是
除以m所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法. 要点诠释:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律,
即
.
(2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
(3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“—”号,使括号内的
第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号.
(4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和
为零,则提取公因式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、(2016?石家庄校级模拟)下列等式从左到右的变形是因式分解的是( ) A.6a2b2=3ab?2ab B.2x2+8x﹣1=2x(x+4)﹣1
1 / 4
C.a2﹣3a﹣4=(a+1)(a﹣4) D.
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式,从对象和结果两方面去判断. 【答案】C.
【解析】A、是单项式乘单项式的逆运算,不符合题意; B、右边结果不是积的形式,不符合题意; C、a2﹣3a﹣4=(a+1)(a﹣4),符合题意;
D、右边不是几个整式的积的形式,不符合题意. 故选:C.
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式,所以等式的左边必须是多项式,将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式. 举一反三:
【变式】(2014?海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A.a+4a﹣21=a(a+4)﹣21 B.a+4a﹣21=(a﹣3)(a+7) C.(a﹣3)(a+7)=a+4a﹣21 D.a+4a﹣21=(a+2)﹣25 【答案】B.
类型二、提公因式法分解因式
222222、(1)多项式3x?6xy?3的公因式是________;
(2)多项式4mn?16m?8m的公因式是________;
(3)多项式x(b?c?a)?y(b?c?a)?(a?b?c)的公因式是________; (4)多项式2(x?3)?x(3?x)的公因式是________. 【答案】(1)3 (2)4m (3)b?c?a (4)x?3 【解析】
解:先确定系数部分的公因式,再确定字母部分的公因式.
(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数,最后的一项中不含字母,所以公因式中也不含字母.公因式为3.
(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数,字母部分是m.公因式为4m. (3)公因式是(b?c?a),为一个多项式因式.
(4)多项式可变形2?x?3??x?x?3?,其公因式是x?3.
【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手,公因式可以是一个数,也可以是一个单项式,还可以是一个多项式,互为相反数的因式可变形为公因式. 举一反三:
【变式】下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )
322 2 / 4
22A.x?y B.x?2x C.x?y D.x?xy?y
?2?2【答案】B;
3、若?p?q???q?p???q?p?E,则E是( )
A.1?q?p B.q?p C.1?p?q D.1?q?p
【答案】C; 【解析】
解:?p?q???q?p???q?p??1?p?q?.故选C.
【总结升华】观察等式的右边,提取的是?q?p?,故可把?p?q?变成?q?p?,即左边=?q?p??1?p?q?.注意偶次幂时,交换被减数和减数的位置,值不变;奇次幂时,交换被减数和减数的位置,应加上负号. 举一反三:
【变式】把多项式?m?1??m?1???m?1?提取公因式?m?1?后,余下的部分是( )
A.m?1 B.2m C.2 D.m?2
【答案】D;
解:?m?1??m?1???m?1?, =?m?1??m?1?1?, =?m?1??m?2?.
22222323224、(2015春?新沂市期中)分解因式:3x(a﹣b)﹣6y(b﹣a). 【思路点拨】将原式变形后,提取公因式即可得到结果. 【答案与解析】
解:原式=3x(a﹣b)+6y(a﹣b)=3(a﹣b)(x+2y). 【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键. 举一反三:
【变式】用提公因式法分解因式正确的是( )
A.12abc?9abc?3abc?4?3ab?
222B.3xy?3xy?6y?3yx?x?2y C.?a?ab?ac??a?a?b?c?
22?2? 3 / 4
37数学八年级上册提公因式法(基础)知识讲解
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