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直线与圆的方程的应用 优秀教案

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直线与圆的方程的应用

【教学目标】

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

【教学重难点】

教学重点:直线的知识以及圆的知识 教学难点:用坐标法解决平面几何。

【教学过程】

一、复习准备:

直线方程有几种形式? 分别为什么? (2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?

(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4) 直线与圆的方程在生产。生活实践中有广泛的应用。想想身边有哪些呢? (5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? (6) 如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课:

提出问题、自主探究

例1.如图是一桥圆拱的示意图,根据提供信息完成以下计算:圆拱跨度AB=84米,拱高A6P6=15米,在建造时每隔7米需用一个支柱支撑,求:支柱A3P3的长度(精确到0.01米)。

方法一:在Rt?AAO 中 R2 =422 +(R-15)2 可求出半径R,而在Rt?PCO 中

36PC2?R2?212 ,

3∴A3P3?P3C?A6O,从而可求得A3P3长度。 能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解?

方法二:先求圆的方程,再把求A3P3长度看成P3的纵坐标。 首先应建立坐标系。

如何建系?四种不同的建系方案:

分组解答,同学自选一种建系方案,同桌之间可以互相协作,相互探讨。 归纳总结、巩固步骤 总结解决应用问题的步骤:

(1)审题----分清条件和结论,将实际问题数学化;

(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言,找到与此相联系的数学知识,建立数学模型;

(3)解模----求解数学问题,得出数学结论;

(4) 还原----根据实际意义检验结论,还原为实际问题。 流程图:

实际问题 数学问题 数学结论 实际问题结论

(审题) (建模) (解模) (还原)

变式训练:某圆拱桥的水面跨度16米,拱高4米。有一货船,装满货过桥,顶部宽4米,水面以上高3米,请问此船能否通过?当卸完货返航时,船水面以上高3.9米,此时能否通过?

深入讨论、提炼思想

在上面问题求解过程中,我们通过“建系”,利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用,如证明 “平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”,再看下例:

例2.已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直,

PE?AD于E,探求线段PE与BC的数量关系。

1(1)PE?BC。

2思路:把四边形特殊化,看成正方形,那么圆心与正方形的中心重合,此时PE?1BC。 2对于一般情形,这个结论正确吗?作如下猜想:“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”,能否用学过的平面几何知识加以证明?

证明:(平面几何法)连接AP并延长交圆P于点F,连接DF,CF, ∵∠3=∠4 ∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中∠1=∠2 ∵ ∠5=∠1+ ∠7, ∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ① 又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900 ∴ CF∥BD ②

由① ②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE | 用“建系”这一新工具尝试

证明:(解析几何法)以AC,BD交点为坐标原点,所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(d,0)。

用勾股定理, PE?R2?AE2,其中E为AD中点;

先求出圆心P的坐标及直线AD的方程,然后用点到直线距离公式求PE的长;先求出圆心P与点E的坐标,再用两点间距离公式求PE的长。

设圆方程为(x-m )2 + (y-n)2 =r2,考虑到圆与x轴交于A、C两点,令y=0,得关于x的一元二次方程x2-2mx+(M2+n2-r2)=0,然后利用韦达定理可得圆心的横坐标a?c,同理可得

m? 2圆心的纵坐标b?d。

n?2应用圆的方程求圆心坐标,正是圆方程的具体应用。

过圆心作两坐标轴的垂线,利用垂径定理来解决,很快可以求出圆心的P坐标a?cb?d。

(2,2)

变式练习:设Q为BC的中点,则QH//PE ,如何用代数方法证明这一结论呢?

还能有什么其他发现?

(1)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直,则一组对边的平方和等于另一组对边的平方和;

(2)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直,则两条对角线之积等于两组对边之积的和;

(3)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直,则经过对角

线交点作其中一边的垂线,一定平分这一条边的对边。

课堂小结:

(1)直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用; (2)解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原;

(3)解决几何问题的新方法------解析法,主要数学思想是通过代数方法研究几何问题,达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:

第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论;

【板书设计】

一、指数函数

1.定义 2.图像 3.性质 二、例题

例1 变式1 例2 变式2

【作业布置】

直线与圆的方程的应用 优秀教案

直线与圆的方程的应用【教学目标】利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题【教学重难点】教学重点:直线的知识以及圆的知识教学难点:用坐标法解决平面几何。【教学过程】一、复习准备:直线方程有几种形式?分别为什么?(2)圆的方程有几种形式?分别是
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