直线与圆的方程的应用
【教学目标】
利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
【教学重难点】
教学重点：直线的知识以及圆的知识 教学难点：用坐标法解决平面几何。
【教学过程】
一、复习准备：
直线方程有几种形式？ 分别为什么？ （2） 圆的方程有几种形式？分别是哪些？
（3） 求圆的方程时，什么条件下，用标准方程？什么条件下用一般方程？ （4） 直线与圆的方程在生产。生活实践中有广泛的应用。想想身边有哪些呢？ （5） 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ （6） 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？ 二、讲授新课：
提出问题、自主探究
例1．如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）。
方法一：在Rt?AAO 中 R2 =422 +(R-15)2 可求出半径R，而在Rt?PCO 中
36PC2?R2?212 ，
3∴A3P3?P3C?A6O，从而可求得A3P3长度。 能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？
方法二：先求圆的方程，再把求A3P3长度看成P3的纵坐标。 首先应建立坐标系。
如何建系？四种不同的建系方案：
分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。 归纳总结、巩固步骤 总结解决应用问题的步骤：
（1）审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；
（2）建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；
（3）解模----求解数学问题，得出数学结论；
（4） 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题。 流程图：
实际问题 数学问题 数学结论 实际问题结论
（审题） （建模） （解模） （还原）
变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3．9米，此时能否通过？
深入讨论、提炼思想
在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明 “平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例：
例2．已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，
PE?AD于E，探求线段PE与BC的数量关系。
1（1）PE?BC。
2思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时PE?1BC。 2对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？
证明：（平面几何法）连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF， ∵∠3=∠4 ∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中∠1=∠2 ∵ ∠5=∠1+ ∠7， ∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ① 又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900 ∴ CF∥BD ②
由① ②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE | 用“建系”这一新工具尝试
证明：（解析几何法）以AC，BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设A(a,0)，B(0,b)，C(c,0)，D(d,0)。
用勾股定理， PE?R2?AE2，其中E为AD中点；
先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。
设圆方程为(x-m )2 + (y-n)2 =r2，考虑到圆与x轴交于A、C两点，令y=0，得关于x的一元二次方程x2-2mx+(M2+n2-r2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标a?c，同理可得
m? 2圆心的纵坐标b?d。
n?2应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。
过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出圆心的P坐标a?cb?d。
(2,2)
变式练习：设Q为BC的中点，则QH//PE ，如何用代数方法证明这一结论呢？
还能有什么其他发现？
（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对边的平方和等于另一组对边的平方和；
（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；
（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角
线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。
课堂小结：
（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用； （2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原；
（3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论；
【板书设计】
一、指数函数
1．定义 2．图像 3．性质 二、例题
例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】
直线与圆的方程的应用 优秀教案
