[对点专练4]
(1)曲线y＝x＋2cosx在点(0,2)处的切线方程是( ) A．y＝x＋2 C．y＝2x＋2
B．y＝－x＋2 D．y＝－2x＋2
(2)过曲线y＝ln(x＋1)上的点(0,0)的切线方程为________． [解析] (1)由题意得y′＝1－2sinx，把x＝0代入得y′＝1，即切线方程的斜率k＝1，所以所求的切线方程为y－2＝x－0，即y＝x＋2，故选A.
1
(2)设切点P(x0，y0)，∵y′＝，∴切线方程为y－ln(x0＋1)
x＋11＝(x－x0)． x0＋1
－x0
∵切线过点(0,0)点，∴－ln(x0＋1)＝，解得x0＝0，∴切线
x0＋1方程为y＝x，即x－y＝0.
[答案] (1)A (2)x－y＝0 易错点5 极值概念不清致误
【例5】 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.
[错解] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得
????f′?1?＝0?3＋2a＋b＝0，?a＝4，?即?解得? 2?f?1?＝10，??b＝－11，??1＋a＋b＋a＝10.?
??a＝－3，
或?故a＋b＝－7或a＋b＝0，故填－7或0. ?b＝3.?
[错因分析] 忽视了条件的等价性，“f′(1)＝0”是“x＝1为f(x)的极值点”的必要不充分条件．
[正解] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得
??f′?1?＝3＋2a＋b＝0， ①? 2??f?1?＝1＋a＋b＋a＝10， ②???a＝4，?a＝－3，联立①②得?或?
??b＝－11，b＝3.??
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0且在x0
点两侧导数异号，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符号：“左正右负”?f(x)在x0处取极大值；“左负右正”?f(x)在x0处取极小值，而不仅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′(x0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．
[对点专练5]
(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，那么下列说法正确的是( ) A．若f ′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点
B．若x0是函数f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导则f ′(x0)＝0 C．若x0是函数f(x)的极值点，则f ′(x0)可能不存在 D．若f ′(x0)＝0无实根，则函数f(x)必无极值点
(2)f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________． [解析] (1)A项中若f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点，
故A错误；x0是极值点，f ′(x)存在，则f ′(x0)＝0，故B正确、C
??x，x≥0
错误；若f(x)＝?，则f ′(x)＝0无实根，但f(x)有极小值点，
??－x，x<0
故D错误．综上，故选B.
(2)f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0?c＝22
或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x－8x＋4，令f′(x)>0?x<3或x>2，f′(x)<0
2
2???2?2
???－∞，，2?3 ∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，同样验证可知c＝6符合题意． [答案] (1)B (2)6 易错点6 导数与函数单调性关系不清致误 【例6】 函数f(x)＝x3－ax2－3x在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． [错解] f′(x)＝3x2－2ax－3，由题意可知， 3?1? f′(x)>0，即a<2?x－x?(x≥2)恒成立， ? ? 9??3?1?99 又2?x－x?≥4，故a<4，所以a的取值范围是?－∞，4?. ? ? ? ? [错因分析] 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性． [正解] 由题意，知f′(x)＝3x2－2ax－3， 3?1? 令f′(x)≥0(x≥2)恒成立，得a≤2?x－x?(x≥2)恒成立． ?? 3?1? 记t(x)＝2?x－x?，当x≥2时，t(x)是增函数， ??1?99??3? ???所以t(x)min＝2×2－2＝4，所以a∈－∞，4?. ???? 9 经检验，当a＝4时，函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数． 由单调性求参数范围时，要用f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则易漏解． [对点专练6] (1)若函数f(x)＝alnx－x在区间(0,2)上单调递增，则有( ) A．a＝2 C．0 B．a≤2 D．a≥2 (2)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)>f′(x)成立，则( ) A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)＝2f(ln3) C．3f(ln2)<2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定 a [解析] (1)由于f′(x)＝x－1，故据题意可得x∈(0,2)时f′(x)＝a x－1≥0恒成立，即a≥x恒成立，故只需a≥2，选D. f′?x?－f?x?f?x? (2)令g(x)＝ex，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)在Rexf?ln2?f?ln3? 上单调递减，又ln2 [答案] (1)D (2)A 易错点7 定积分与面积转化不清致误 【例7】 曲线y＝sinx与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积为________． [错解] 分两部分，在[0，π]上有∫π0sinxdx＝2，在[π，2π]上有∫ 2π πsinxdx＝－2，因此所求面积 S＝2＋(－2)＝0. [错因分析] 面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加． 2π [正解] S＝∫π0sinxdx＋|∫πsinxdx|＝2＋2＝4. 在x轴上方曲边梯形的面积等于函数的积分，在x轴下方曲边梯形的面积等于函数积分的相反数． [对点专练7] ?x＋2，－2≤x<0，(1)函数f(x)＝?π 2cosx，0≤x≤?2， 图形的面积为________． 的图象与x轴所围成的封闭 1 (2)直线y＝3x与抛物线y＝x－x2所围图形的面积等于________． [解析] (1)所求面积S＝?0 (x＋2)dx＋ ?-2 2cosxdx＝
基础回扣(二) 函数与导数
