[对点专练4]
(1)曲线y=x+2cosx在点(0,2)处的切线方程是( ) A.y=x+2 C.y=2x+2
B.y=-x+2 D.y=-2x+2
(2)过曲线y=ln(x+1)上的点(0,0)的切线方程为________. [解析] (1)由题意得y′=1-2sinx,把x=0代入得y′=1,即切线方程的斜率k=1,所以所求的切线方程为y-2=x-0,即y=x+2,故选A.
1
(2)设切点P(x0,y0),∵y′=,∴切线方程为y-ln(x0+1)
x+11=(x-x0). x0+1
-x0
∵切线过点(0,0)点,∴-ln(x0+1)=,解得x0=0,∴切线
x0+1方程为y=x,即x-y=0.
[答案] (1)A (2)x-y=0 易错点5 极值概念不清致误
【例5】 已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则a+b=________.
[错解] f′(x)=3x2+2ax+b,由x=1时,函数取得极值10,得
????f′?1?=0?3+2a+b=0,?a=4,?即?解得? 2?f?1?=10,??b=-11,??1+a+b+a=10.?
??a=-3,
或?故a+b=-7或a+b=0,故填-7或0. ?b=3.?
[错因分析] 忽视了条件的等价性,“f′(1)=0”是“x=1为f(x)的极值点”的必要不充分条件.
[正解] f′(x)=3x2+2ax+b,由x=1时,函数取得极值10,得
??f′?1?=3+2a+b=0, ①? 2??f?1?=1+a+b+a=10, ②???a=4,?a=-3,联立①②得?或?
??b=-11,b=3.??
当a=4,b=-11时,f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1两侧的符号相反,符合题意.
当a=-3,b=3时,f′(x)=3(x-1)2在x=1两侧的符号相同,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.
综上可知a=4,b=-11,∴a+b=-7.
对于可导函数f(x):x0是极值点的充要条件是f′(x0)=0且在x0
点两侧导数异号,即f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右的符号:“左正右负”?f(x)在x0处取极大值;“左负右正”?f(x)在x0处取极小值,而不仅是f′(x0)=0.f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑f′(x0)=0,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根.
[对点专练5]
(1)设函数f(x)的导函数为f′(x),那么下列说法正确的是( ) A.若f ′(x0)=0,则x0是函数f(x)的极值点
B.若x0是函数f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导则f ′(x0)=0 C.若x0是函数f(x)的极值点,则f ′(x0)可能不存在 D.若f ′(x0)=0无实根,则函数f(x)必无极值点
(2)f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________. [解析] (1)A项中若f(x)=x3,f ′(0)=0,但x=0不是极值点,
故A错误;x0是极值点,f ′(x)存在,则f ′(x0)=0,故B正确、C
??x,x≥0
错误;若f(x)=?,则f ′(x)=0无实根,但f(x)有极小值点,
??-x,x<0
故D错误.综上,故选B.
(2)f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2,f′(2)=0?c=22
或c=6.若c=2,f′(x)=3x-8x+4,令f′(x)>0?x<3或x>2,f′(x)<0
2
2???2?2
???-∞,,2?3 ∴x=2是极小值点,故c=2不合题意,同样验证可知c=6符合题意. [答案] (1)B (2)6 易错点6 导数与函数单调性关系不清致误 【例6】 函数f(x)=x3-ax2-3x在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________. [错解] f′(x)=3x2-2ax-3,由题意可知, 3?1? f′(x)>0,即a<2?x-x?(x≥2)恒成立, ? ? 9??3?1?99 又2?x-x?≥4,故a<4,所以a的取值范围是?-∞,4?. ? ? ? ? [错因分析] 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式,受此影响,容易认为函数f(x)的导数在区间[2,+∞)上大于零,忽视了函数的导数在[2,+∞)上个别的点处可以等于零,这样的点不影响函数的单调性. [正解] 由题意,知f′(x)=3x2-2ax-3, 3?1? 令f′(x)≥0(x≥2)恒成立,得a≤2?x-x?(x≥2)恒成立. ?? 3?1? 记t(x)=2?x-x?,当x≥2时,t(x)是增函数, ??1?99??3? ???所以t(x)min=2×2-2=4,所以a∈-∞,4?. ???? 9 经检验,当a=4时,函数f(x)在[2,+∞)上是增函数. 由单调性求参数范围时,要用f′(x)≥0(或f′(x)≤0),否则易漏解. [对点专练6]