理由是：
∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y， ∴∠DFP=n+180°﹣y， ∵x+m+∠DFP=180°， ∴x+m+n+180°﹣y=180°， ∴y﹣x=m+n； ②x﹣y=m﹣n，如图3，
理由是：
同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y， ∴x﹣y=m﹣n； ③x+y=m+n，如图4，
理由是：
由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n； ④x﹣y=m+n，如图5，
理由是：
同理得：180°=m+n+y+180°﹣x， ∴x﹣y=m+n； ⑤y﹣x=m﹣n，如图6，
理由是：
同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y， ∴y﹣x=m﹣n．
点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.
6．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
(1)求证：∠OAC＝∠OCA；
(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝
11∠AOC，∠PCE＝∠ACE，求∠P的大小； 3311∠AOC，∠PCE＝∠ACE，猜想∠OPCnn(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．
【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）【解析】
45 n试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；
11∠AOC、∠PCE=∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，33再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=
11∠AOC、∠PCE=∠ACE可以求得nn∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．
试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°. ∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=
(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝ (180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.
(3)解：∠OPC＝.
.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝
证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝(180°－45°)＝
.
∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE， ∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝
.
点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．
7．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；并说明理由； （2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积.
【答案】（1）△EPF是等边三角形，理由见解析；（2）S△GBE=3. 【解析】
试题分析：（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知∠EPF=60°，只需要证PE=PF即可，可通过证△PBE和△PFC全等来得出结论，是证明全等，则需要证明FP⊥BC和BE=PC；
（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，即可求出△GBE的面积； 试题解析：（1）△EPF是等边三角形，理由如下： ∵PE⊥AB，∠B=60°，因此Rt△PEB中，BE=
11BP=BC=PC，∴∠BPE=30°，23∵∠EPF=60°，∴FP⊥BC，∵∠B=∠C=60°，BE=PC，∠PEB=∠FPC=90°，∴△BEP≌△CPF，∴EP=PF，∵∠EPF=60°，∴△EPF是等边三角形. （2）过E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=
21BC=4，BE=CP=BC=2，在三角33形FCP中，∠PFC=90°-∠C=30°，∵∠PFE=60°，∴∠GFC=90°，Rt△FGC中，∠C=60°，CF=4，∴GC=2CF=8，∴GB=GC-BC=2，Rt△BEP中∠EBP=60°，BP=4，
∴PE=23，BE=2，∴EH=BE?PE÷BP=3，∴S△GBE=
1BG?EH=3. 2点睛：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握全靠三角形的判定方法和等边三角形的性质是解题的关键.
8．如图 (1)所示，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，连接AD，MD，BC，BD， MC，AC，S△DMC，S△DAC和S△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC＝
SDAC?S2DBC.
(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB与CD不平行时，S△DMC=说明理由；
SDAC?S2DBC是否仍然成立?请
(2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC，S△DBC有什么样的数量关系?试说明你的结论． 【答案】(1) S△DMC=解析. 【解析】 【分析】
（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC，DMC，DBC都是同底，而由于AB∥DC，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A，M，B分别作BC的垂线AE，MN，BF，AE∥MN∥BF，由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN=
SDAC?S2DBC仍成立，理由见解析； (2)S△DMC=
SDBC?S2DAC，理由见
1（AE+BF），三个三角形同底因此结论①是成立的． 2（2）本题可以利用AM=MB，让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD，OMD的和就等于三角形BMD的面积，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系． 【详解】
(1)当AB与CD不平行时，S△DMC=
SDAC?S2DBC仍成立．分别过点A，M，B作CD的垂线
AE，MN，BF，垂足分别为E，N，F.∵M为AB的中点，∴MN＝
1111(AE+BF)，∴S△DAC+S△DBC=DC·AE+DC·BF＝DC·(AE+BF)= 2222
S1DC·2MN=DC·MN=2S△DMC.∴S△DMC=2 (2)S△DMC=
DAC?S2DBC；
SDBC?S2DAC.理由：∵M是AB的中点，∴S△ADM＝S△BDM，S△ACM=S△BCM,而
S△DBC=S△BDM+S△BCM+S△DMC,① S△DAC=S△ADM+S△ACM-S△DMC,②∴①-②得S△DBC-S△DAC=2S△DMC,故S△DMC=
SDBC?S2DAC.
【点睛】
本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.
9．（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______. （3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则
x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C；（2）△ABC沿DE折叠，∠1+∠2=∠B+∠C，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A． 试题解析：
解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C，理由如下： 在△ADE中，∠1+∠2 = 180°- ∠A 在△ABC中，∠B+∠C = 180°- ∠A ∴ ∠1+∠2 = ∠B+∠C
（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C，当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°
（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和． 【详解】
上海华东师范大学松江实验中学数学三角形解答题章末训练(Word版 含解析)
