概率论与数理统计习题答案复旦大学出版社第四章

习题

1 ?设随机变量X的分布律为 X -1 0 1/2 1 1/8 2 1/4 P 1/8 2

求 E (X), E (X), E (2X+3)?

【解】(1)E(X)=(-I)X11|11；

+0X+1X+2X=

2

E( X 2) = (-1) J + O? J +1 込 1 + 2L_X ;

8 2 8 4 4

E(2X+3) = 2E(X) + 3=2 J+3 = 4 (3)

2

(2)

5

2?已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取

岀的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为

X 0 P 氏)=0.583 1 2 G(戌=° a?。 5 3 4 45 C严0 Woo 5 C 临=0 340 Goo CC* 阴=0.007 C：严_0 oo Joo

故 E(X) = 0.583x 0 + 0.340 xl+ 0.070 x2 + 0.007 x3 + 0x4 + 0x5 = 0.501, D(X) = ￡[X-E(X)]P

i i

2

/-0

= (0- 0.501) X 0.583 + (1-0.501) x 0.340 + …+ (5 - 0.501) x 0 =0.432.

3?设随机变量X的分布律为

2

2

2

X P -1 0 1 P3 \且已知 E (X) =0」,E(r)=O.9,求 PH PI, P\\?

0 【解】因Pl + p2 + Py = 1……①，

又E(X) = (- M + 0卑+1峯話- A = 0.1……②，

E(X2) = (一1 )2 =P + O2=P+12=P = P + P = 0.9 ……③

1

2

3

13

由①?③联立解得匕=04匕=0?1，4=°?5?

4?袋中有N只球，苴中的白球数X为一随机变量，已知E (X) =?,问从袋中任取1球为白 球的概率是多

少？

【解】记A日从袋中任取1球为白球｝,贝IJ

A\\X = k}=P{X=k}

=￡—p(x =k}=-^kP{x=k) =J_=E(X)=2.

N 5?设随机变量X的槪率密度为

N

x. 0

f(A-)

1 < A < 2, 0,他他?

求 E (X), D (X)?

【解】E(X) = J xf(x)dx=j xdx+f x(2-x)dx

2

-X \

2 :

\

V r

2232

E(X) = j x/(x)dx =j xdx + j x(2-x)dx = 一 -x o i 6

22

D(X) = E(X)-[E(X)]=1.

6

6?设随机变量X, Y, Z相互独立，且E (X) =5, E (D =lh E (Z) =8,求下列随机变量 的数

学期望.

ri T x -=1.

3

-1 + J,' 31 =lx

L3j'

(1) U=2X+3Y+\\, (2) V=KZ-4X ?

【解】(1) E[U] = E(2X+3Y + \\) = 2E(X) + 3E(Y)+\\

= 2x5 + 3x11 + 1 =44.

⑵ E[V] = E[YZ-4X] = E[YZ]-4E(X)

因 Y, Z独立)=E(Z) - 4E( X) =11x8-4x5 = 6&

7?设随机变量 X, 丫相互独立，且 E (X)=E(r)=3,D (X) = 12,D (/) = 16,求E (3X-2K)>D

(2X-3Y) ?

【解】(1) E(3X 一 2 Y) = 3E( X) — 2E(K ) = 3x3— 2x3 = 3 ?

(2) D(2X-3r)= 2 D( X) +(-3尸 ￡>Y=4xl2 +9x16= 192?

8?设随机变量(X, r)的概率密度为

2

2

k、0

0,

他他

试确定常数k,并求E (XY)? +30 +30 1 X 1

【解】因L丄/(儿刃呪〉，=￡ CLV￡ kdy = -k = t故匕2

■HW +X 1 X

E(XY) = j x j x xyf(x, y)d-vdy = [ xdx^ 2ydy = 0.25. 9?设X, 丫是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ,y > 5, fx

2x, 0，)=，

0, 其他.

求 E (XY). 【解】方法一：先求X与丫的均值 E(X) = f ddx=2, 0

3

E(Y) ye-<-'--515『c~'dz +

= 5+1 =6.

由X与丫的独立性，得 o

2 E(XY) = E(XiE(Y)=_= 4 x6

? 3

方法二：利用随机变量函数的均值公式?因x与丫独立，故联合密度为 「2“-05, /(AO?

)= /x(^)=/r(y)= < 其他,

于是

E(XY) = j400 f AT^xe-1'\耳 ye~(-~^dy = ~ x 6 = 4. 5 0 0 5 3

10?设随机变量X, r的概率密度分别为 x>0, fy (y) J 4严，y>0, A- < 0; [0,

A (x) J 2严,

O y < 0.

求(1) E (X+r); (2) E 【解】(X) = (2X-3P)? (x)dx [?十 ^2e-2vdv = [-xe~2xr 「 Jo

0 Jo

丁严dJ

E(r)= 'L 2

J^e-4 v

dy = 1

.

'c W(y)d)[

_ J-00 Y

Jo

4

2 1 时)=匚乃心听「尤4,辿冷； 从而(i)E(x+r)=

E(x)+E(r)= I+l=2.

2 4 4

3