习题
1 ?设随机变量X的分布律为 X -1 0 1/2 1 1/8 2 1/4 P 1/8 2
求 E (X), E (X), E (2X+3)?
【解】(1)E(X)=(-I)X11|11；
+0X+1X+2X=
2
E( X 2) = (-1) J + O? J +1 込 1 + 2L_X ;
8 2 8 4 4
E(2X+3) = 2E(X) + 3=2 J+3 = 4 (3)
2
(2)
5
2?已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取
岀的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为
X 0 P 氏)=0.583 1 2 G(戌=° a?。 5 3 4 45 C严0 Woo 5 C 临=0 340 Goo CC* 阴=0.007 C：严_0 oo Joo
故 E(X) = 0.583x 0 + 0.340 xl+ 0.070 x2 + 0.007 x3 + 0x4 + 0x5 = 0.501, D(X) = ￡[X-E(X)]P
i i
2
/-0
= (0- 0.501) X 0.583 + (1-0.501) x 0.340 + …+ (5 - 0.501) x 0 =0.432.
3?设随机变量X的分布律为
2
2
2
X P -1 0 1 P3 \且已知 E (X) =0」,E(r)=O.9,求 PH PI, P\\?
0 【解】因Pl + p2 + Py = 1……①，
又E(X) = (- M + 0卑+1峯話- A = 0.1……②，
E(X2) = (一1 )2 =P + O2=P+12=P = P + P = 0.9 ……③
1
2
3
13
由①?③联立解得匕=04匕=0?1，4=°?5?
4?袋中有N只球，苴中的白球数X为一随机变量，已知E (X) =?,问从袋中任取1球为白 球的概率是多
少？
【解】记A日从袋中任取1球为白球｝,贝IJ
A\\X = k}=P{X=k}
=￡—p(x =k}=-^kP{x=k) =J_=E(X)=2.
N 5?设随机变量X的槪率密度为
N
x. 0 f(A-) 1 < A < 2, 0,他他? 求 E (X), D (X)? 【解】E(X) = J xf(x)dx=j xdx+f x(2-x)dx 2 -X \ 2 : \ V r 2232 E(X) = j x/(x)dx =j xdx + j x(2-x)dx = 一 -x o i 6 22 D(X) = E(X)-[E(X)]=1. 6 6?设随机变量X, Y, Z相互独立，且E (X) =5, E (D =lh E (Z) =8,求下列随机变量 的数 学期望. ri T x -=1. 3 -1 + J,' 31 =lx L3j' (1) U=2X+3Y+\\, (2) V=KZ-4X ? 【解】(1) E[U] = E(2X+3Y + \\) = 2E(X) + 3E(Y)+\\ = 2x5 + 3x11 + 1 =44. ⑵ E[V] = E[YZ-4X] = E[YZ]-4E(X) 因 Y, Z独立)=E(Z) - 4E( X) =11x8-4x5 = 6& 7?设随机变量 X, 丫相互独立，且 E (X)=E(r)=3,D (X) = 12,D (/) = 16,求E (3X-2K)>D (2X-3Y) ? 【解】(1) E(3X 一 2 Y) = 3E( X) — 2E(K ) = 3x3— 2x3 = 3 ? (2) D(2X-3r)= 2 D( X) +(-3尸 ￡>Y=4xl2 +9x16= 192? 8?设随机变量(X, r)的概率密度为 2 2 k、0 0, 他他 试确定常数k,并求E (XY)? +30 +30 1 X 1 【解】因L丄/(儿刃呪〉，=￡ CLV￡ kdy = -k = t故匕2 ■HW +X 1 X E(XY) = j x j x xyf(x, y)d-vdy = [ xdx^ 2ydy = 0.25. 9?设X, 丫是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ,y > 5, fx 2x, 0 0, 其他. 求 E (XY). 【解】方法一：先求X与丫的均值 E(X) = f ddx=2, 0 3 E(Y) ye-<-'--515『c~'dz + = 5+1 =6. 由X与丫的独立性，得 o 2 E(XY) = E(XiE(Y)=_= 4 x6 ? 3 方法二：利用随机变量函数的均值公式?因x与丫独立，故联合密度为 「2“-0 )= /x(^)=/r(y)= < 其他, 于是 E(XY) = j400 f AT^xe-1'\耳 ye~(-~^dy = ~ x 6 = 4. 5 0 0 5 3 10?设随机变量X, r的概率密度分别为 x>0, fy (y) J 4严，y>0, A- < 0; [0, A (x) J 2严, O y < 0. 求(1) E (X+r); (2) E 【解】(X) = (2X-3P)? (x)dx [?十 ^2e-2vdv = [-xe~2xr 「 Jo 0 Jo 丁严dJ E(r)= 'L 2 J^e-4 v dy = 1 . 'c W(y)d)[ _ J-00 Y Jo 4 2 1 时)=匚乃心听「尤4,辿冷； 从而(i)E(x+r)= E(x)+E(r)= I+l=2. 2 4 4 3
概率论与数理统计习题答案复旦大学出版社第四章
