【考点】LB：矩形的性质；KI：等腰三角形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【解答】解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E， ∴∠ABE=∠AEB=45°， ∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE==，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F， ∴∠BEG=∠DEF ∵AD∥BC ∴∠G=∠DEF ∴∠BEG=∠G ∴BG=BE=
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC ∴
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC ∵BG=BC+CG ∴=9+2x+x 解得x=
∴BC=9+2（﹣3）= 故答案为：
三、解答题（本大题共7小题，共60分）
19．x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与x≤2﹣都成立
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】根据题意分别求出每个不等式解集，根据口诀：大小小大中间找，确定两不等式解集的公共部分，即可得整数值． 【解答】解：根据题意解不等式组， 解不等式①，得：x＞﹣， 解不等式②，得：x≤1， ∴﹣＜x≤1，
故满足条件的整数有﹣2、﹣1、0、1．
20．为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m的值是 30% ； （2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图． 【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；
（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%； 故答案为：50；30%；
（2）50×20%=10（人），50×10%=5（人），如图所示：
（3）∵5﹣2=3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男1 男2 男3 女1 女2
男1 ﹣﹣﹣ （男1男2） （男1男3）
（男1，女1）
男2 男2男1 ﹣﹣﹣ 男2男3 男2女1 男2女2
男3 男3男1 男3男2 ﹣﹣﹣ 男3女1 男3女2
女1 女1男1 女1男2 女1男3 ﹣﹣﹣ 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2男3 女2女1 ﹣﹣﹣
（男1女2）
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种， 则P（一男一女）==．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
【考点】SD：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换；T7：解直角三角形． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求， 由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2）， 故AD=2，CD=6，AC==2，
∴sin∠ACB===， 即sin∠A2C2B2=．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积． 【解答】解：（1）BC与⊙O相切． 证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD． 又∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA． ∴∠CAD=∠ODA． ∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2， ∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD=OB， ∴∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S扇形AOB==，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣． 故阴影部分的面积为2﹣．
23．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值． 【考点】59：因式分解的应用．
【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
山东省枣庄市中考数学试卷解析版
