（2）输出噪声的一维概率密度函数。
R C 图P2-2
解：(1)低通滤波器的传输函数为1H(?)?1?j?RC经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为： n012Pno(?)?Pni(?)?H(?)??21?(?RC)2故?n0Rno(?)?F[Pno(?)]?exp(?)4RCRC?1 （2）Nno?Rno(0)?n0??2， 4RC由题3-8，输出噪声的一维概率密度函数为：
2RC2RCx2f(x)?exp(?)
?n0n03-10 一个LR低通滤波器如图P3-3所示，假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的白噪
声时，试求：
（1）输出噪声的自相关函数。 （2）输出噪声的方差。
L R 图P3-3
解：（1）LR低通滤波器的传输函数为 H(?)?11?j?LR
输出噪声的功率谱密度为
n0n0R2? Pno(?)?H(?) 22R2?(?L)22?n0R?RLe Rno(?)?F[Pno(f)]? 4L?1 （2）Nno?Rno(0)?
n0R 4Ln0R 4L?2?Rno(0)?Rno(?)?Rno(0)?0?3-11 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取
?1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且具有宽
平稳性，试证：
（1）自相关函数
R?(?)???1??/Tb???0??Tb
??T2（2）功率谱密度P?(?)?Tb[Sa(?fTb)]
证明：
这是一个等概率发送的双极性矩形脉冲序列，可以证明（见第6章138页式（6.1-26）和140页例题6-2）
P??Tb[Sa(?fTb)]
因为P两个Sa函数的乘积?两个门函数的卷积，?(?)?R?(?)，Sa函数?门函数，可以证明自相关函数为一三角波。即
R?(?)??
3-12 图P3-4为单个输入，两个输出的线性过滤器，若输入过程?(t)是平稳的，试求?1(t)和?2(t)的互功率谱密度的表达式。
h1(t)
?(t) h2(t)
图P3-4 解：
2?1??/Tb???0??Tb
??T?1(t) ?2(t) ?1(t)??(t)*h1(t)???(t??)h1(?)d?????2(t)??(t)*h2(t)???(t??)h2(?)d????
P12(f)?F[R12(?)]??e?????j2?f??d?E[??(t??)h1(?)d???(t????)h2(?)d?]??????j2?f?????????????????1?h(?)h2(?)d?d?E[??(t??)?(t????)e??d?]
?????h1(?)h2(?)d?d?E[??(t)?(t???)e?j2?f??ej2?f(???)d??]ej2?f(???)????????h1(?)h2(?)d?d??E[?(t)?(t???)]e?j2?f??d??
?????????????ej2?f(???)h1(?)h2(?)d?d??R?(??)e?j2?f??d?????????????ej2?f?h1(?)d??e?j2?f?h2(?)d??R?(??)e?j2?f??d??
???H1*(f)H2(f)P?(f)3-13 设平稳过程X(t)的功率谱密度为PX(?)，起自相关函数为RX(?)。试求功率谱密度为
1[PX(???0)?PX(???0)] 2所对应的过程的相关函数（其中，?0为正常数）。 解：所求为 F?1?1??[PX(???0)?PX(???0)]? ?2?1?j2?f?[P(f?f)?P(f?f)]edfX0X0???21???[PX(f)e?j2?f0??PX(f)e?j2?f0?]ej2?f?df 2????cos2?f0??PX(f)ej2?f?df????RX(?)cos?0? 3-14 X(t)是功率谱密度为PX(f)的平稳随机过程，该过程通过图P3-5所示的系统。
（1）求出过程Y(t)是否平稳？ （2）求Y(t)的功率谱密度。
d X(t) Y(t) 相加 dt
延时T
图P3-5 解：（1）相加运算和微分运算都是线性运算，因为“若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的”，所以，Y(t)是平稳的。
（2）X(t)经过延时T后的信号为 X(t?T)?X(t)e?j?T，所以
Y(t)?dd[X(t)?X(t?T)]?(1?e?j?T)X(t) dtdtH(?)?(1?e?j?)j?
所以，系统传输函数为
功率谱密度为
PY(?)?H(?)PX(?)?2(1?cos?T)?PX(?)
3-15 设X(t)是平稳随机过程，其自相关函数在(?1,1)上为RX(?)?1??，是周期为2的周期性函数。试求X(t)的功率谱密度PX(?)，并用图形表示。 解：将RX(?)按傅立叶级数展开：RX(?)?22n????Cen?j2?nf?
Cn?11?j2?nf0?(1??)ed???121011??(1??)e?j2?nf0?d???(1??)e?j2?nf0?d?2?120
1??(1??)cos2?nf0?d?0sin2n?2?2(n?2)2sin2n?2?j2?(f?nf0)?PX(f)???ed???2(n?2)2n?????sin2n?2??j2?(f?nf0)???ed?2???n???2(n?2)??n???????sinn?21(n?2)22?2
????e?j2?(f?nf0)?d?sin2n?2????(f?nf0)2(n?2)n????n?????Sa2(?n?)?(f?nf0) （图略。） 2期末试题精选与答案
1．平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与 无关，二维分布只与 有关。
2．一个均值为零，方差为?的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是 过程，均值为 ，方差为 。
3．均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是 ，其相位的一维分布是 。
4．白噪声在 上，随机变量之间不相关。 5．高斯过程通过线性系统以后是 过程。
答案
1．时间 时间间隔
22．平稳高斯 0 ?n
2
3．瑞利分布 均匀分布 4．同一时刻 5．高斯
考研试题精选
1．双边功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，通过中心频率为fc，带宽为B(B理想带通滤波器，其输出包络的一维概率密度函数为 。
2．功率谱密度为[Px(???0)?Px(???0)]的平稳过程的自相关函数为 。 3．什么是广义平稳、狭义平稳？两者关系如何？ 4．窄带高斯白噪声中的“窄带”、“ 高斯”和“白”的含义是什么？
5．已知sm(t)?m(t)cos(?ct??)是一幅度调制信号，其中?c为常数；m(t)是零均值平稳随机基带信号，m(t)的自相关函数和功率谱密度分别是Rm(?)和Pm(f)；相位?为在[??,??]区间服从均匀分布的岁机变量，并且m(t)与?相互独立。
（1）试证明sm(t)是广义平稳的随机过程； （2）试求sm(t)的功率谱密度Pm(f)。
6．设信道噪声具有均匀的双边功率谱密度n0/2，接收滤波器的传输特性为
fc)的
12?kH(f)???0fc?B2?f?f?B2其他
通信原理答案第三章 2A
