第三章
3-1 设X是a?0，??1的高斯随机变量，试确定随机变量Y?cX?d的概率密度函数f(y)，其中c,d均为常数。
解：E[y]?cE[x]?d?d f(y)?
3-2 设一个随机过程?(t)可以表示 ?(t)?2cos(2?t??)
式中，?是一个随机变量，且P(??0)?12， P(???2)?12，试求E?(1)及
，E[y]?E[y]?cE[X]?2cdE[X]?c
2222212?c2(y?d2) ]ex?p[22cR?(0,1)。
解： 由 P(??0)?P(???2)?1 得到随机变量?的概率密度分布函数为
11?f(?)??(?)??(??)，
222?11?E?[t]??2cos(2?t??)[?(?)??(??)]d???222
?cos(2?t)?cos(2?t?)2E[1]?1
?11?R?(0,1)??4cos(?)cos(2???)[?(?)??(??)]d??? 222?2?
3-3 设Y(t)?X1cos?0t?X2sincos?0t是一随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0、方差为σ2的正态随机变量，试求：
（1）E[Y(t)]、E[Y(t)]；
（2）Y(t)的一维分布密度函数f(y); （3）R(t1,t2)和B(t1,t2)。
2解：（）1E[Y(t)]?E[X1cos?0t?X2sin?0t]?E[X1cos?0t]?E[X2sin?0t]?E[X1]cos?0t?E[X2]sin?0t?0E[Y2(t)]?E[(X1cos?0t?X2sin?0t)2]2?E[X12]cos2?0t?2E[X1]E[X2]cos?0tsin?0t?E[X2]sin2?0t??2(cos2?0t?sin2?0t)?0??2（2）因为X1、X2为正态分布，所以Y(t)也为正态分布，又E[Y(t)]?0，D[Y(t)]?E[Y2(t)]?E2[Y(t)]??21y2所以f(y)?exp(?2)2?2??（3）R(t1,t2)?E[Y(t1)Y(t2)]?E[(X1cos?0t1?X2sin?0t1)(X1cos?0t2?X2sin?0t2)]2?E[X12]cos?0t1cos?0t2?E[X2]sin?0t1sin?0t2?E[X1]E[X2]cos?0t1sin?0t2?E[X2]E[X1]sin?0t1cos?0t2??2cos[?0(t2?t1)]??2cos?0?B(t1,t2)?R(t1,t2)?E[Y(t1)]E[Y(t2)]?R(t1,t2)??2cos?0?
3-4 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为ax和ay，自相关函数分别为Rx(?)、Ry(?)。
（1）试求乘积Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数； （2）试求和Z(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数。
解：(1)R(t1,t2)?E[z(t1)z(t2)]?E[X(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2)]?E[X(t1)X(t2)]E[Y(t1)Y(t2)]?RX(?)RY(?)
Rt(t,?)EZ[1t(Z)2t(?)]E[XYt()X?)(t(2Y) t( (2)121(?t()12))]?E[X(t1)X(t2)]?E[X(t1)Y(t2)]?E[X(t2)Y(t1)]?E[Y(t1)Y(t2)]?Rx(?)?E[X(t2)]E[Y(t1)]?E[X(t1)]E[Y(t2)]?Ry(?)?Rx(?)?2axay?Ry(?) 3-5 已知随机过程z(t)?m(t)cos(?ct??)，其中，m(t)是广义平稳过程，且其自相关
?1???函数为 Rm(?)??1???0??1???00???? 其他随机变量?在(0,2?)上服从均匀分布，它与m(t)彼此统计独立。
（1） 证明z(t)是广义平稳的； （2） 试画出自相关函数Rz(?)的波形； （3） 试求出功率谱密度Pz(f)及功率S。 解：
E[z(t)]?E[m(t)cos(?ct??)]?E[m(t)]E[cos(?ct??)]
1因为 E[cos(?ct??)]?2?
?2?0cos(?ct??)d??0，得到
E[z(t)]?0
Rz(t,t??)?E[z(t)z(t??)]12?cos(?ct??)cos[?c(t??)??]d?2??0 12??Rm(?)[cos?c??cos(2?ct?2???c?)]?04?1?Rm(?)cos?c?2?Rm(?)
所以，（1）z(t)是广义平稳的； （2）略
?j2?f?d? （3）Pz(f)??Rz(?)e???
1011?j2?f???(1??)cos?c?ed???(1??)cos?c?e?j2?f?d? 2?1201sin2[(???c)2]1sin2[(???c)2] ??224[(???c)2]4[(???c)2]其中，??2?f。 S?Rz(0)?或者，
1， 2S??P(f)df??221???sin[(???c)2]sin[(???c)2]??????df22???4?[(???c)2]??[(???c)2]?221???sin[(???c)2]sin[(???c)2]?? ????d? 22???4??2?[(???c)2]2?[(???c)2]???1?[?(???c)??(???c)]d????41?2? 3-6 已知噪声n(t)的自相关函数为
Rn(?)?k??e 2（1）求出其功率谱密度Pn(f)及功率N； （2）试画出Rn(?)及Pn(f)的图形。 解：（1）
P(f)?k??k??j2?f?ed????2k0k???ek??j2?f?d???e?k??j2?f?d?2??20
k??k??j2?f?k??k??j2?f???ed???ed?0022k2?2k?4?2f2N?Rn(0)?（2）略。
k 23-7 一个均值为a，自相关函数为RX(?)的平稳随机过程X(t)通过一个线性系统后的输出过程为
Y(t)?X(t)?X(t?T)， T为延时时间 （1）画出该系统的框图；
（2）试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。 解： （1）略 （2）
Ry(t,t??)?E[Y(t)Y(t??)]
?E[X(t)X(t??)]?E[X(t)X(t???T)]?E[X(t?T)X(t??)]?E[X(t?T)X(t???T)]?2RX(?)?RX(??T)?RX(??T)PY(f)?2PX(f)??[RX(??T)?RX(??T)]e?j2?f?d?????
?2PX(f)??[RX(?)e?j2?f(??T)?RX(?)e?j2?f(??T)]d????2PX(f)?2cos2?fT?RX(?)e?j2?f?d????
?2PX(f)?2PX(f)cos2?fT?4PX(f)cos2?fT3-8 一个中心频率为fc、带宽为B的理想带通滤波器如图P3-1所示。假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求： （1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。
2?BH(?)2?B??c0 图P3-1 ?c?
解：（）经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为：1??n0/2Pno(?)????0故???c??B其余?n0?2BSa(?B?)cos?c?2
Rno(?)?F?1[Pno(?)]??n0BSa(?B?)cos?c?
(2)Nno?Rno(0)?n0B(3)因为输入是高斯噪声，所以输出仍为高斯噪声。又，Rno(?)?E[no(t)]?0,Rno(0)?Rno(?)??2?n0B?0?n0B，所以，D[no(t)]???n0B故输出噪声的一维概率密度为：1x2f(x)?exp(?)2nB2?n0B0 3-9 一个RC低通滤波器如图P3-2所示，假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的白
噪声时，试求：
（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数。
通信原理答案第三章 2A
