第2课时 数列求和
【基础练习】
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝A．1 1C． 6【答案】B 【解析】∵an＝
1
，则S5等于( )
nn＋1
5B． 61D． 30
n1?1111?1??11??1
＝－，∴Sn＝?1－?＋?－?＋…＋?－＝1－＝?n＋1nn＋1n＋1?2??23??nn＋1?
5
.∴S5＝.故选B． n＋16
2．数列{an}的通项公式为an＝(－1)A．200 C．400 【答案】B
【解析】由题意可得数列{an}的通项公式为an＝(－1)
n－1
n－1
n·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )
B．－200 D．－400
·(4n－3)，所以a1＝1，a2＝－5，
a3＝9，a4＝－13，…，a99＝393，a100＝－397.所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝
－4×50＝－200.故选B．
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 018＝( ) A．1 007 C．－1 007 【答案】D
【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)(an＋1)，可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，则数列{an}是周期为4的数列，所以S2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＋a2 018＝504×(－2)＋1－2＝－1 009.
4．已知数列{an}满足a1＝1且anan＋1＝2，则数列{an}的前20项的和为( ) A．3×2－3 C．3×2－2 【答案】D
2anan＋1an＋1n【解析】∵数列{an}满足a1＝1且anan＋1＝2，∴a2＝＝2，an－1an＝2n－1，n≥2.∴＝
1an－1anan－1
＝2，则数列{an}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的
- 1 -
1011
nB．1 009 D．－1 009
nnB．3×2－1 D．3×2－3
10
11
1－22×1－2
等比数列．∴前20项的和为S20＝＋
1－21－2
1010
＝3×2－3.故选D．
10
?1?
5．设数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N)，则数列??前10项的和为________．
?an?
*
20
【答案】
11
【解析】a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n.∵a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝1??1??1?2?－，∴S10＝2??1－?＋??nn＋1???2?
nn＋1
2
1
，∴＝
an2nn＋1
＝
?1?2－?
1?＋3??
?1－1?＋…
?34???
?11?＋?－?
?910?
＋?
?1－1??＝2?1－1?＝20.
?????1011???11?11
1
6．在数列{an}中，anan＋1＝，a1＝1.若Sn为数列{an}的前n项和，则S20＝________.
2【答案】15
111an＋1
【解析】由anan＋1＝，a1＝1，得a2＝.∵an－1an＝(n≥2)，∴＝1(n≥2)．说明数列
222an－1
11
{an}是所有奇数项是1，偶数项为的数列，则S20＝10×1＋10×＝15.
22
7．等比数列{an}中，S3＝7，S6＝63. (1)求an；
(2)记数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.
??
【解析】(1)若q＝1，则S＝2S，与已知矛盾，所以q≠1.则?aS＝??
6
3
6
a11－q3S3＝＝7，
1－q1
1－q1－q6
＝63，
??a1＝1，解得?
?q＝2，?
1
即an＝2
n－1
.
(2)由(1)，得Sn＝2－1，
2于是Tn＝2－1＋2－1＋…＋2－1＝2
nn1－21－2
n－n＝2
n＋1
－n－2.
8．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列?
?
?
?的前n项和Tn.
?a2n－1a2n＋1?
1
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
- 2 -
∵前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，
??3a1＋3d＝0，∴???5a1＋10d＝－5，
解得a1＝1，d＝－1.
∴an＝1－(n－1)＝2－n. (2)
1
?
a2n－1a2n＋1
＝
1
3－2n1?1?1
－＝??，
1－2n2?2n－32n－1?
∴数列?
1?
2?
?
?的前n项和
?a2n－1a2n＋1?
1
Tn＝?－1－1＋?1－?＋?－?＋
335
??
1??11?
???
…＋?
?1
－?2n－3
1??1?1?
＝?－1－＝??2n－1??2?2n－1??
.
1－2n【能力提升】
9．(2019年内蒙古赤峰模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋2＋…＋2项和Sn>1 020，那么n的最小值是( )
A．7 C．9 【答案】D
【解析】∵1＋2＋2＋…＋22
n＋1
2
2
nn－1
，…的前nB．8 D．10
n－1
1－22－2n2n＝＝2－1，∴Sn＝(2＋2＋…＋2)－n＝－n＝1－21－2
nn＋1
－2－n.若Sn>1 020，显然Sn是递增的且S9＝1 013<1 020，S10＝2 036>1 020，∴n的最小
值是10.故选D．
10．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
【答案】2
n＋1
n－2
nn－1
【解析】∵an＋1－an＝2，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝22－22－2nnn＋1
＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2.∴Sn＝＝2－2.
1－21－2
2
＋2
n－2
nn＋1
11．设公差不为0的等差数列{an}的首项为1且a2，a5，a14构成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
b1b2bn1*
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－n，n∈N，求{bn}的前n项和Tn.
a1a2an2
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， ∵a2，a5，a14构成等比数列，
∴a5＝a2a14，即(1＋4d)＝(1＋d)(1＋13d)， 解得d＝0(舍去)或d＝2.
- 3 -
2
2
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
b1b2bn1*
(2)由已知＋＋…＋＝1－n，n∈N，
a1a2an2b11
当n＝1时，＝；
a12
1?1bn1?
当n≥2时，＝1－n－?1－n－1?＝n.
an2?2?2
bn1*
∴＝n，n∈N. an2
由(1)，知an＝2n－1，n∈N， 2n－1*
∴bn＝n，n∈N.
2
1352n－1∴Tn＝＋2＋3＋…＋n，
22221132n－32n－1则Tn＝2＋3＋…＋n＋n＋1. 22222
2?2n－1311?2212n－12n＋3两式相减，得Tn＝＋?2＋3＋…＋n?－n＋1＝－n－1－n＋1，∴Tn＝3－n.
2?222?222222
*
- 4 -
2019 - 2020学年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第2课时数列求和限时规范训练新人教A版必修5
