2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知集合A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?N，且A?B?N?{1}，则a?b? 1 ． 2．已知正项等比数列{an}的公比q?1，且a2,a4,a5成等差数列，则
a1?a4?a73?5． ?a3?a6?a923．函数f(x)?6x?1[0,]． 的值域为
x2?4x?764．已知3sin2??2sin2??1，3(sin??cos?)2?2(sin??cos?)2?1，则cos2(???)??5．已知数列{an}满足：a1为正整数，
an?1?an?,an为偶数,??2 ??3an?1,an为奇数,1． 3如果a1?a2?a3?29，则a1? 5 ．
6．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c满足a?c?2b，且C?2A，则sinA?7． 4p的值为q7．在△ABC中，AB?BC?2，AC?3．设O是△ABC的内心，若AO?pAB?qAC，则
3． 255?x38．设x1,x2,x3是方程x3?x?1?0的三个根，则x15?x2的值为 －5 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
29．已知正项数列{an}满足anan?1?anan?2?4anan?1?an?1?3anan?1且a1?1，a2?8，求{an}的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以anan?1，得1?an?2a?41?n?1?3， an?1an所以 1?an?2a?1?4(1?n?1?1)． ------------------------------------------4分 an?1anan?1?1,则b1?4,bn?1?4bn，即数列{bn}是以b1＝4为首项,4为公比的等比数列，所以an
令bn?1?
bn?b1?4n?1?4n. ------------------------------------------8分
所以1?an?1?1?4n,即 an?1?[(4n?1)2?1]an. ------------------------------------------12分 an于是，当n?1时,
an?[(4n?1?1)2?1]an?1?[(4n?1?1)2?1]?[(4n?2?1)2?1]an?2
????[(4k?1n?1k?1?1)?1]a1?2?[(4k?1n?1k?1?1)2?1] ，
n?1,?1,?n?1因此,an?? ------------------------------------------16分
[(4k?1?1)2?1],n?2.??k?1?
10．已知正实数a,b满足a2?b2?1，且a3?b3?1?m(a?b?1)3，求m的最小值． 解 令a?cos?,b?sin?，0????2，则
cos3??sin3??1(cos??sin?)(cos2??cos?sin??sin2?)?1m??．----------------------------------------5分
(cos??sin??1)3(cos??sin??1)3x2?1令 x?cos??sin?，则 x?2sin(??)?(1,2]，且cos?sin??．------------------------------10分
42于是
?x2?1x(1?)?12?3x?x32?x?x22?x312． ------------------------------15分 m??????2(x?1)2(x?1)2(x?1)32(x?1)32(x?1)2因为函数f(x)?31?在(1,2]上单调递减，所以f(2)?m?f(1)．
2(x?1)232?4． ------------------------------------------20分 2因此，m的最小值为f(2)?
11．设f(x)?loga(x?2a)?loga(x?3a)，其中a?0且a?1．若在区间[a?3,a?4]上f(x)?1恒成立，求a的取值范围．
5a2a2)?]． 解 f(x)?loga(x?5ax?6a)?loga[(x?2422由?5a?x?2a?0,3得x?3a，由题意知a?3?3a，故a?，从而(a?3)?22?x?3a?0,3?(a?2)?0，故函数25a2a2g(x)?(x?)?在区间[a?3,a?4]上单调递增. ------------------------------------------5分
24（1）若0?a?1，则f(x)在区间[a?3,a?4]上单调递减，所以f(x)在区间[a?3,a?4]上的最大值为
f(a?3)?loga(2a2?9a?9)．
在区间[a?3,a?4]上不等式f(x)?1恒成立，等价于不等式loga(2a2?9a?9)?1成立，从而2a2?9a?9?a，解得a?5?75?7或a?． 22结合0?a?1得0?a?1． ------------------------------------------10分
（2）若1?a?3，则f(x)在区间[a?3,a?4]上单调递增，所以f(x)在区间[a?3,a?4]上的最大值为2f(a?4)?loga(2a2?12a?16).
在区间[a?3,a?4]上不等式f(x)?1恒成立，等价于不等式loga(2a2?12a?16)?1成立，从而2a2?12a?16?a，即2a2?13a?16?0，解得
13?4113?41． ?a?44易知
13?413?，所以不符合． ------------------------------------------15分 42综上可知：a的取值范围为(0,1)． ---------------------------------
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及答案(高一)
