2013年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答
命题人 蔡子星
一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。
A AB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆，AB?CD?2.0m，M AD?0.5m。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到
D 负重分别加在D点和CD中点O点P1?10kg，P2?20kg，直接B OP1 把床推上放下会比较费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸
?到花花草草也不好。为了解决这个问题，我们在AB杆上距离A点
P2 C 0.5m处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。g?10N/kg
（1） 为了尽量省力，弹簧的经度系数k应当为多少？
（2） 当床与墙面夹角??30?时，请计算AD杆上的受力。 【解答】
（1）如果势能处处恒定则无需外力。令AB?l?2.0m，AD?AM?a?0.5m
由余弦定理DM重力势能
2?a2?a2?2a2cos?
（1分）
lEp1?Plcos??Pcos? 122弹性势能
（2分）
112 （2分） Ep2?kDM?k(2a2?2a2cos?)
22l要求总势能为常数，则有(Pl?P?ka2)cos?为常数，于是 122lPgl?P2g12?1600Nm-1 （5分） k?2a注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分
（2）由于AD是轻杆，且只在两端受力，所以受力沿杆，设为N
对于AB杆，以B为支点，由合外力矩等于0
Nlsin??kDM3lsin?AMD?0 （4分） 4?AMD中由正弦定理
sin?AMDsin?? （2分）
ADDM代入力矩方程有
Nlsin??ka3lsin??0 4由此得到 N?600N （4分） 注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分
二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景，一个水球悬浮在空中，我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为r，折射率为n。在计算中我们取傍轴近似（只计算小角度范围的光线成的像）
物 l Or像 D 假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示，由于相机没有变焦，因而只能对物体前方距离为D处的物体能够清晰成像。
l2。（1） 随着球心到物体之间距离l的变化，将发现两次能清晰成像的位置l1、求|l1?l2|，
以及两个实像大小的比值
（2） D应当满足什么条件才能观察到上述现象。
【解答】 解法一:
（1） 设第一次成像物距为u，像距为v'，设第二次成像物距为u'，像距为v
（物在光心左为正，像在光心右为正） 由单球面成像公式
1nn?1 ??uv'rnn1?n ??u'v?r
（1） （3分） （2） （3分）
由平面几何
（3） （1分） u'?v'?2r （4） （1分） u?v?D?2r 将（1）、（2）代入（3）消去u'和v'得到
2uv(n?1)?(u?v)r(n?2)?2r2
再将（4）代入得到
2r2?r(n?2)(D?2r)uv?
2(n?1)于是
l1?l2?u?v?(u?v)2?4uv?D2?2nDr n?1（6分）
按放大率定义
第一次成像放大率为
M1??v'vnvv'??? （1分） unu'uu'由于光路可逆，第二成就和第一相比就是物象对调，因而第二次成像放大率为：
M2?M1?1
（1分）
代入u、v的解，得到两个实像大小比值为
(n?1)D?nr?(n?1)2D2?2(n?1)nDr2M?M?() （2分）
nr21（2） 需要使得上式有意义，需要根号内大于0
于是有
D?2nr n?1 （4分）
解法二:
如图假设小角度入射，如图假设各个角度
? ?x?'?' ?' ??'y? 由傍轴近似
?(x?r)??'r；?(y?r)??'r；
（2分）
由平面几何，第一次折射角和第二次入射角相等，均为?'，因而第一次入射角和第二次折射角均为?。由三角形外角等于两内角和
?????'??；?????'???nx nrxry； r
（2分）
由折射定律及傍轴近似
?'??? （2分）
在中间的三角形中：
?'??'?2?'
(2分)
代入以上各式，只用?和x、y表示，整理得到：
第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案
