2013广东高考数学（理科）试题及详解
参考公式:台体的体积公式V?积,h表示台体的高.
1下底面S1?S1S2?S2h,其中S1,S2分别是台体的上、
3??一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
221．设集合M?x|x?2x?0,x?R,N?x|x?2x?0,x?R,则M?N?( )
???
?A . ?0? B．?0,2? C．??2,0? D．??2,0,2?
2．定义域为R的四个函数y?x3,y?2x,y?x2?1,y?2sinx中,奇函数的个数是( )
A . 4 B．3
C．2
D．1
D．?4,2?
3．若复数z满足iz?2?4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )
A . ?2,4? B．?2,?4? 4．已知离散型随机变量X的分布列为
C．?4,?2?
X P
1
3 52 3 103 1 101 2 2 则X的数学期望EX? ( )
3A . B．2
2A . 4 B．C．
5 C． D．3
214 3
5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )
16 D．6 1 36．设m,n是两条不同的直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若???,m??,n??,则m?n C．若m?n,m??,n??,则???
正视图 侧视图
1 B．若?//?,m??,n??,则m//n
俯视图 n//? D．若m??,m//n,,则???
第5题图
7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F?3,0?,离心率等于( )
3,在双曲线C的方程是 2x2y2??1 A . 45x2y2??1 D．25x2y2x2y2 B．??1 C．??1
45258．设整数n?4,集合X??1,2,3,?,n?.令集合
S???x,y,z?|x,y,z?X,且三条件x?y?z,y?z?x,z?x?y恰有一个成立?
若?x,y,z?和?z,w,x?都在S中,则下列选项正确的是( )
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A . ?y,z,w??S,?x,y,w??S
C．?y,z,w??S,?x,y,w??S
B．?y,z,w??S,?x,y,w??S
D．?y,z,w??S,?x,y,w??S
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)
9．不等式x?x?2?0的解集为___________．
10．若曲线y?kx?lnx在点?1,k?处的切线平行于x轴,则k?______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为______. 12. 在等差数列?an?中,已知a3?a8?10,则3a5?a7?_____.
2开始 输入n i?1,s?1 iy ?n否 ?x?4y?4是 4 ?13. 给定区域D:?x?y?4,令点集T?{?x0,y0??D|x0,y0?Z,?x0,y0? s?s??i?1? ?x?0?输出s 结束 i?1 是z?x?y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定______ i?1 4 O 条不同的直线. 第11题图 （二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
??x?2cost14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为?(t为参数),C??y?2sint在点?1,1?处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_____________.
15. (几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上, 延长BC到D使BC?CD,过C作圆O的切线交AD于E.若
AB?6,ED?2,则BC?_________.
A 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演E
算步骤. D 16．（本小题满分12分）
O . C B ???已知函数f(x)?2cos?x??,x?R.
12??(Ⅰ) 求f??
第15题图
3????3??的值； (Ⅱ) 若,??,2??,求cos????5?6??2????f?2???．
3??17．（本小题满分12分）
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某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；
(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.
1 7 9
2 0 1 5 3 0
第17题图
18．（本小题满分14分）
如图1,在等腰直角三角形ABC中,?A?90?,BC?6,D,E分别是AC,AB上的点,CD?BE?2, O为BC的中点.将?ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A??BCDE,其中
A?O?3.
(Ⅰ) 证明:A?O?平面BCDE；
(Ⅱ) 求二面角A??CD?B的平面角的余弦值.
A 图1
C D O E
图2
B D C
O . E B
A?
A?
19．（本小题满分14分）
C
设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?1,(Ⅰ) 求a2的值；
(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有
2Sn1D 2?an?1?n2?n?,n?N*. n3H 3O E
B 1117?????. a1a2an420．（本小题满分14分）
已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为
32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. 2(Ⅰ) 求抛物线C的方程；
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(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程； (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.
21．（本小题满分14分）
设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).
x2 (Ⅰ) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间； (Ⅱ) 当k??.
?1?,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M. 2??www.zxsx.com
参考答案
1.【解析】D；易得M???2,0?,N??0,2?,所以M?N???2,0,2?,故选D．
2.【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为y?x与y?2sinx,故C．
32?4i?4?2i对应的点的坐标是?4,?2?,故选C． i331153?3???,故选A． 4.【解析】A；EX?1??2?510101023.【解析】C；z?5.【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为
1和2的正方形,高为2,故V?12141?12?22?22?2?,,故选B． 33??6.【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．
3,所以a?2,从而a2?4,b2?c2?a2?5,故选B． 2,?,w?1,则8.【解析】B；特殊值法,不妨令x?2,y?3z7.【解析】B；依题意c?3,e??y,z,w???3,4,1??S,?x,y,w???2,3,1??S,故选B．
如果利用直接法:因为?x,y,z??S，?z,w,x??S，所以x?y?z?①，y?z?x?②，
z?x?y?③三个式子中恰有一个成立；z?w?x?④，w?x?z?⑤，x?z?w?⑥
三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w?x?y?z，于是?y,z,w??S，第二种：①⑥成立，此时x?y?z?w，于是?y,z,w??S，?x,y,w??S；
?x,y,w??S；第三种：②④成立，此时y?z?w?x，于是?y,z,w??S，?x,y,w??S；
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第四种：③④成立，此时z?w?x?y，于是?y,z,w??S，?x,y,w??S.综合上述四种情况，可得?y,z,w??S，?x,y,w??S.
9.【解析】??2,1?；易得不等式x2?x?2?0的解集为??2,1?.
1,依题意k?1?0,所以k??1. x11.【解析】7；第一次循环后:s?1,i?2；第二次循环后:s?2,i?3；
10.【解析】?1；求导得y??k? 第三次循环后:s?4,i?4；第四次循环后:s?7,i?5；故输出7. 12.
【
解
析
】
20d?1；依题意
2a1?9d?10,所以
3a5?a7??3a?1?4a6?d4?. 1a1?8d?20 或:3a5?a7?2?a3?a8??20
13.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z?x?y取得最小值时的整点为?0,1?,取得最大值时的整点为?0,4?,?1,3?,?2,2?,?3,1?及?4,0?共5个整点.故可确定5?1?6条不同的直线.
14.【解析】
?sin?????????222x?y?2,其在点?1,1?处的切线4?C；曲线的普通方程为
l的方程为x?y?2,对应的极坐标方程为?cos???sin??2,即
15.【解析】23；依题意易知?ABC??CDE,所以
?sin?????????24?.
ABBC?,又 CDDEBC?CD,所以BC2?AB?DE?12,从而BC?23.
16. 【解析】(Ⅰ)f??(Ⅱ) f?2??因为cos??????????????2cos???2cos??2cos?1； ?????4?6??612??4?????????????2cos2????2cos2????????cos2??sin2? 3?3124????34?3??,???,2??,所以sin???,
55?2?247,cos2??cos2??sin2??? 25257?24?17?cos2??sin2????????.
25?25?2517?19?20?21?25?30132??22；
66所以sin2??2sin?cos???所以f?2??
17. 【解析】(Ⅰ) 样本均值为
?????3?数学资源网http://shuxue2013.com/ 全部免费 无须注册 点击下载
2013广东高考数学（理科）试题及答案
