2020年全国硕士研究生招生考试（数学一）参考答案及解析
1.D解析：A选项可知(
B选项(C选项(
?
x0(et?1)dt)'?ex?1~x2；333222?
x
0
ln(1?t)dt)'?ln(1?x)~x；?
sinx0sint2dt)'?sinx2cosx~x2；sin3tdt)'?sinxsin3(1?cosx)~14x.2D选项(2.C?1-cosx0f(x)=0，且解析：当f(x)在x?0处可导时,有f(x)在x=0处连续，f(0)=limx?0lim
x?0
f(x)?f?0?xf(x)x=lim
x0=lim
x?0
f(x)
存在设为a,则有，x
limx0f(x)xf(x)x×=lim×lim=a×0=0.
x0x0xxxx3.A函数f(x,y)在点（0,0）处可微，,则有f(x,y)-f(0,0)-(x,y)?(0,0)lim
ff
x-x(0,0)yy
(0,0)x2+y2ffx-x(0,0)yx+yx?y22f(x,y)-=
y
(0,0)lim()()x,y?0,022=0
即有(x,y)?(0,0)4.A5.Blim
|n(x,y,f(x,y))|=0解析：矩阵A经初等列变换化成B，根据左行右列，应该选B.6.C解析：由于两直线相交，故两直线的方向向量无关，即?1，?2无关，由因为两直线上有两a1a2b2c2a2?a3b2?b3?0，故选C.c2?c3点组成的向量与两直线的方向向量共面，故b1c17.DP(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
?p(AB)?p(ABC)?p(AB)?p(ABC)?p(BC)?p(ABC)?p(A)?p(AB)?[p(AC)?p(ABC)]?p(B)?p(AB)?[p(BC)?p(ABC)]?p(C)?p(BC)?[p(AC)?p(ABC)]11111?1?1
?0???0???0??0???41241212?12?45?12?
8.B1
E?Xi??EXi?100??50
2i?1i?110010011
D?Xi??DXi?100???25
22i?1i?1100100?100??100?
X?50x?50??????55?50??i?1i?i?1i?P??P1??????????1?555????????????
9.-1limln(1?x)?(e?1)x2xx??x?0121x?(x?x2)22??12x10.?2dy1d2yd2yt2?1解析：?，2???2??2dxtdxt?1dxt311.am?n解析：12.4e?
??0f(x)dx??[?af?(x)?f??(x)]dx?am?n.0xy2??f(x,y)=òextdt；
0fy(x,y)=exxyx,fy(x,1)=exx；fyx(x,1)=e3xx+e；
2x3x3223解析：fyx(1,1)=4e.
a
13.0a1?1
?11a0
1?10a=
a00
aa0
01a
0?1aa
0?11
a=a?01?1aaa00a0a0a
a?(?1)4?1a1?11?10
?100=a?0
1?1+a2a
aa
a00a
?(?1)4?1a1?1
?10=?4a2?a4.14.2
?Cov(X,sinX) ?EXsinX?EXEsinX?1?f(x)????0?EXsinX?
?11?x???,??22?其他1
??
?2??2xsinxdx?
2
??
?20
???22?
xsinxdx???xcosx02??2cosxdx?=
0????EX?EsinX?0
Cov(X,sinX) ?EXsinX?EXEsinX?
2
??fx'?3x2?y?0?
15.解：对函数关于x,y分别求导，令并两偏导数同时为零，得?'，解得2
??fx?24y?x?01?
x?
?x?0??6''''''
.又fxx?6x,fxy??1,fyy?48y，在?0,0?处，AC?B2??1?0，从或??
?y?0?y?1
?12?
而函数在此处不取极值；在?
?11?
,?处，AC?B2?3?0,A?1?0，从而函数在此处取极?612?
1?11?
f?,???.216?612?
?Q?4x2?8xy?y2?P??222?x?y?4x?y?小值，且f?
1?11?
,???.综上函数的极值为216?612?
P?16.解：由条件知4x?yx?y,Q?4x2?y24x2?y2，可得.令l:4x2?y2??2，其中?为充分小的正数，取顺时针方向.则I=?
L?l??
l??Q?P?1??????dxdy?2??x?y?D?
n+
?l?4x?y?dx??x?y?dy?
1
?2??2dxdy??D'1
2a，故a n=1 ￥ n 当x<1收敛，有比较判别法得?ax n=1 nn=0 ￥ n 收敛，所以?ax n=1 n ￥ n 收敛.（2）设S(x)= ?ax n=1 n' ￥ n ，则S(x)= n=1 ' nanxn-1=(n+1)an+1xn 则S(x)-xS(x)= n=0 ' (n+1)an+1xn- 1 nanxn=a1+S(x).2n=1 故S(x)- ' 11 S(x)= 2(1-x)1-xC-21-x所以S(x)=由于S(0)=0，所以C=2.故S(x)=2-21-xì??xyü?? 的法向量是n=,,-1，z=x+y18.2222xyxy++?t??ìx??yz=-dddxdy?22?x+y?dydzdzdxdxdy 则有，即?==í xy?y-1?zx=-dddxdy?222222?x+yx+y?x+y?? 22I= S [xf(xy)+(2x-y)]-xx+y22+[yf(xy)+2y+x]-yx+y22+[zf(xy)+2]dxdy = S-2x2+y2+2dxdy=-2 Sx2+y2dxdy+2 S2 1dxdy 设S在xoy面的投影为Dxy，则Dxy= {(x,y)1￡x+y2￡4}则上式=2 = 2p0 dq 21 rdr+(-2) 2 2p0 dq 21 rdr 10p.319.（1）因为f(x)在[0,2]上可导连续，所以f(x)连续，故f(x)在[0,2]上可取到最大值M，不妨设该点为x0，即x0?[0,2]，且f(x0)=M.若M=0，则结论显然成立.若M>0，由于f(0)=f(2)=0，故x0?(0,2)，此时f(x0)=M M=f(x0)-f(0)=f'(x1)x0，x1?(0,x0)M=f(2)-f(x0)=f'(x2)(2-x0)，x2?(x0,2) 若x0?(0,1]，由（1）式得（1）（2）f'(x1)= ' M 3Mx0 M >M2-x0 ' 若x0?(1,2)，由（2）式得f(x2)= 综上所述，无论x0在(0,2)中何处，均有x?(0,2)使f(x)3M(2)若对任意的x?(0,2)有f?(x)?M，则必有M?0，假设M?0，则由题及第一问可知' 存在f(x1)= MM￡M，f'(x2)=￡M，所以x0?1，因此f(1)?Mx02-x0 10而M?f(1)?故M?? f?(x)dx?? 10f?(x)dx?Mdx?M，0? 1? 10f?(x)dx?? 10f?(x)dx?M.因此f?(x)在(0,1)上不变号，而(f?(x)?M)dx?0，又因为f?(x)?M，所以f?(x)?M? 10同理在(1,2)f?(x)?M，又f(1)?M，所以f?(x)在(0,1)与(1,2)上异号，若x?(0,1)，f?(x)?M，x?(1,2)f?(x)??M则f(x)在x?1处不可导，与题目具有连续导数矛盾，故M?0.20.（1）可知矩阵A= 1-2 -24 ，B= a22b .故有a+b=5，ab-4=0，联立解得a=4，b=1.
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