2024-2024学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设??1=2，数列{1+2????}是公比为3的等比数列，则??6等于( )
A. 607.5 B. 608 C. 607 D. 159
2. 在△??????中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若??=1，??=√3，??=30°，
则角B等于( ) A. 60°或120° B. 30°或150° C. 60° D. 120°
3. 直线??1：????+(1???)???3=0和??2：(???1)??+(2??+3)???2=0互相垂直，则k
的值是( ) A. ?3 或1
B. 0 C. 0或?3
A
D. 0或1
b+c2c
4. 在△??????中，∠??，∠??，∠??的对边分别为a，b，c，cos22=
，则△??????的形状
一定是( ) A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5. 直线??+(??2+1)??+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A. [0,4] C. (2,??)
??
??
B. [0,2)∪[4??，??) D. [4??,??)
3
??3
6. 直线????+??+??=0与直线??+????+??=0在同一坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
7. 若不等式??2+????+4≥0对一切??∈(0,1]成立，则a的最小值( )
A. 0 B. ?3 C. ?4 D. ?5
8. 为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测
得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠??????=45°，则塔AB的高是( ) A. 10 m B. 10√2 m C. 10√3 m D. 10√6 m 9. 已知：a，??∈???，且??+??=1，则2??+??取到最小值时，??+??=( )
2
1
A. 9 B. 6 C. 4
5??2?75??
2D. 3
10. 已知数列{????}满足3??1?3??2…3????=(1)3
????+5|(??∈???)，则????的最小值为( ) A. 20 B. 15
(??∈???).令????=|????+????+1+?+
C. 25 D. 30
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11. 已知点??(1,1)和??(6,9)，直线l：????+?????7=0，若直线l与线段AB有公共点，
则??2+??2的最小值为( )
77
A. 24
B. 2
49
C. 25
1
D.
32413
12. 已知数列{????}中，??1=1，且????+1?????=(?2)??(??∈??+)，若存在正整数n，使得
(???????)(???????+1)<0成立，则实数t的取值范围为( )
A. 3
2
B. 2
2??3
1
C. 3
25
D. 2
1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 在△??????中，若??=1，??=√3，∠??=
，则??=______．
??(4,?2)等距离，14. 已知直线1过点??(1,4)且与点??(?2,2)，则直线1的方程为______． 15. 对于数列{????}，定义????=
??1+2??2+?+2???1????
??
为{????}的“优值”，现已知某数列的“优
??
2024
=______． 值”????=2??，记数列{????}的前n项和为????，则2024
??=??(??)是定义在R上的奇函数，16. 设a为实常数，当??<0时，??(??)=4??+
??2??
+7，
若??(??)≥??+1对一切??≥0成立，则a的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. (1)已知关于x的不等式????2+????+2>0的解集为(?1,2)，求关于x的不等式????2?
?????2>0的解集．
(2)解不等式??+4>1．
18. (1)已知直线??1：?????=0和直线??2：2??+???3=0的交点为P，若直线1过点P
且与直线???2??=0平行，求直线1的方程(结果用一般式表示)．
(2)若1过点(3,?2)且在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求1的方程(结果用一般式表示)．
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2???
19. △??????中，角A，B，C的对边分别为a，b，??.已知3??????(?????)?1=6????????????????．
(1)求cosA；
(2)若??=3，△??????的面积为2√2，求b，c．
20. 已知数列{????}是各项均为正数的等比数列，数列{????}为等差数列，且??1=??1=1，
??3=??3+1，??5=??5?7．
(1)求数列{????}与{????}的通项公式； (2)求数列{????????}的前n项和????；
2(3)设????为数列{????}的前n项和，若对于任意??∈???，有????+3=???2????，求实数t
1
的值．
21. 水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放??(1≤??≤4且??∈??)个单位的营养
液，它在水中释放的浓度??(克/升)随着时间??(天)变化的函数关系式近似为??=
4+??4???
????(??)，其中??(??)={?，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓
5???(2
(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？
(2)若先投放2个单位的营养液，3天后投放b个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．
22. 已知项数为??(??∈???,??≥2)的数列{????}满足如下条件：①????∈???(??=1,2，…，
??)；②??1
(??1+??2+?+????)?????
???1
(0≤??≤2)
∈???，其中??=1，
2，…，m，则称{????}为{????}的“心灵契合数列”．
(1)数列1，5，9，11，15是否存在“心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契
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合数列”；若不存在，请说明理由；
(2)若{????}为{????}的“心灵契合数列”，判断数列{????}的单调性，并予以证明； (3)已知数列{????}存在“心灵契合数列”{????}，且??1=1，????=1025，求m的最大值．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得，1+2??1=5， 所以1+2??6=5×35， 所以??6=607． 故选：C．
由已知结合等比数列的通项公式即可直接求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式在求解数列的项中的应用，属于基础试题． 2.【答案】A
【解析】解：∵△??????中，??=1，??=√3，??=30°， ∴由正弦定理????????=????????得：????????=
??
??
????????????
=
√3×21
1
=
√3， 2
∵??
利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 3.【答案】A
【解析】解：??=1时，两条直线分别化为：???3=0，5???2=0，此时两条直线相互垂直．
??=?时，两条直线不垂直，舍去．
2
??=?，1时，由两条直线相互垂直，可得?×(?2??+3)=?1，解得??=?3． 21???综上可得：??=?3或1． 故选：A．
对k分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出． 本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦公式、正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．
在△??????中，利用二倍角的余弦公式与正弦定理可将已知cos22=
????????????????
??
??+??2??
3
??
???1
3
，转化为????????=
，整理即可判断△??????的形状．
【解答】
解：在△??????中，∵cos22=
??
??+??2??
，
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