Ａ卷
2012—2013学年第二学期 《数学物理方法》试卷
专业班级 姓 名 学 号 开课系室 计算数学系 考试日期 2013年6月9 日
页 号 满 分 得 分 阅卷人
一 24 二 10 三 15 四 12 五 15 六 12 七 总分 12 100 注意事项
1. 请按规定要求答题，草稿纸见附页； 2. 试卷本请勿撕开，否则作废； 3. 本试卷正文共七页，包括七道大题。
2012-2013学年第二学期《数学物理方法》试卷A答案
一、填空题（每空4分，共计24分）请将正确答案填在题后相应的横线上.
?3u2?u?u?sint?0属于三阶线性非齐次方程 1、 偏微分方程3?xt?t?x（阶数、线性、齐次性）.
?X\(x)??X(x)?0,0?x?2,2、用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题?的解是
X(0)?X(2)?0?2??n????n????2?? ?n?1,2,.... ?X(x)?Bsinn?xnn??22??2u2?u?a,???x???,t?0?的解为u(x,t)?x2?x?a2t2. 3、定解问题??t2?x2?u|?x2?x,u|?0???x???tt?0?t?0
4、设??R3是以光滑曲面?为边界的有界区域，函数u,v?C(?)IC(?)，则第二格林
21
?u???v(u?v?v?u)dV?u?v公式为?????dS. ???n?n????5、设??R3为有界区域，其边界?为分片光滑闭曲面，则如下定解问题
??2u?2u?2u???0,在?内???x2?y2?z2. 有解的必要条件是?xdS?0?u???|??x,在?上???n?
6、已知函数cosx的Laplace变换为L?cosx??
二、解答题（共2小题，每小题5分，共计10分）.
p1
Lsinx?，则 . ??p2?1p2?1
1、设长为l的均匀细杆，侧面绝热，两端点的坐标为x?0,x?l.在端点x?0处保持温度为
u0，而在x?l处杆是绝热的.已知初始温度分布为?(x)，试写出此问题的定解问题.
??u?2u??t??x2, ???ux?0?0, ux??ut?0??(x),?? 0?x?l, t?0x?l?0, t?0
0?x?l.2、将下面定解问题
??u?2u 0?x?2, t?0??t??x2?x, ?? ?ux?0?0, ux?2?1, t?0?0?x?2.?ut?0?0,??化成可直接用分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的定解问题（无需求出解的具体形式）.
解：令u(x,t)?V(x,t)?W(x)，如果W(x)满足下面条件：
?W??(x)?x?0，则关于V(x,t)的定解问题为齐次方程齐次边界条件的。 ??W(0)?0, W(2)?1x3?x解得：W(x)?---------------------------------------------------------2分
6关于V(x,t)的定解问题为：
??V?2V?2, 0?x?2, t?0??t?x??--------------------------------3分 ?Vx?0?0, Vx?2?1, t?0?3?V??W(x)?x?x,0?x?2.?6?t?0
三、计算题（本题15分）用分离变量法求解如下定解问题：
2??2u2?u 0?x??, t?0??t2?a?x2, ??t?0 ?uxx?0?uxx???0, ?0?x??.?ut?0?2x,utt?0?0,??第一步：分离变量--------------------------------------------------------------------5分 设u(x,t)?X(x)T(t)，代入方程可得
X''(x)T''(x)X(x)T(t)?aX(x)T(t)?????X(x)a2T(x)，其中?为常数。
''2''将u(x,t)?X(x)T(t)代入边界条件得
X'(0)T(t)?X'(l)T(t)?0,
从而可得特征值问题
''??X(x)??X(x)?0 ?''??X(0)?X(?)?0第二步：求解特征值问题 -----------------------------------------------------5分 1) 若??0，方程的通解形式为：X(x)?Ae??x?Be???x
由定解条件知A?0,B?0，从而X(x)?0，不符合要求。 2) 若??0，方程的通解形式为：X(x)?Ax?B 由边界条件知A?0,，从而X(x)?B。
3) 若??0，方程的通解形式为：X(x)?Acos?x?Bsin?x 代入边界条件得
?B?0, ??B?0, ???n?1,2,... ?2?Asin???0, ??????n?, 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数
石油大学数学物理方程试卷A答案
