例
7 已知函数f(x)?4x?3xcos??321,其中x?R,32?为参数,且0????2
(1) 当cos??0时,判断函数f(x)是否有极值? (2) 要是函数f(x)的极小值大于零,求参数?的取值范围
(3) 若对(2)中所求的取值范围内的任意参数?,函数f(x)在区间
(2a?1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围
例8 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
【课后练习】:
1.设函数f(x)?x?3ax?3bx的图像与直线12x?y?1?0相切于点(1,-11)
(1) 求a、b的值
(2) 讨论函数f(x)的单调性
32ex2.设函数f(x)?2,其中a为实数
x?ax?a(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围
(2)当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单调递减区间
3.已知曲线y?134x? 33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为4的曲线的切线方程。
4.已知两个函数f(x)?8x?16x?k,g(x)?2x?5x?4x。
(1)对?3?x?3范围内的任意的x,都有f(x)?g(x)成立,求k的范围。 (2)对?3?x1?3,?3?x2?3范围内任意的x1,x2都有
232f(x1)?g(x2),求k的取值范围。
注:导数与函数的单调性的关系
㈠f?(x)?0与f(x)为增函数的关系。f?(x)?0能推出f(x)为增函数,但反之不一定。如函数f(x)?x在(??,??)上单调递增,但
3f?(x)?0,∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
㈡f?(x)?0时,f?(x)?0与f(x)为增函数的关系。若将f?(x)?0的根作为分界点,因为规定f?(x)?0,即抠去了分界点,此时f(x)为增函数,就一定有f?(x)?0。∴当f?(x)?0时,f?(x)?0是f(x)为增函数的充分必要条件。
㈢f?(x)?0与f(x)为增函数的关系。f(x)为增函数,一定可以推出
f?(x)?0,但反之不一定,因为f?(x)?0,即为f?(x)?0或f?(x)?0。
当函数在某个区间内恒有f?(x)?0,则f(x)为常数,函数不具有单调性。∴f?(x)?0是f(x)为增函数的必要不充分条件。