2020年四川省成都市郫都区中考数学二诊试卷
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上
1．（3分）下面如图摆放的正方体、圆锥、圆柱、球，其三视图都是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作（ ） A．256 3．（3分）在代数式A．m≤3
B．﹣957
C．﹣256
D．445
中，m的取值范围是（ ） B．m≠0
C．m≥3
D．m≤3且m≠0
4．（3分）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．68°
B．58°
C．48°
D．32°
5．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5
B．a2?a3＝a6
C．a3÷a2＝a
D．（a2）3＝a5
6．（3分）中国高速路里程已突破13万公里，居世界第一位，将13万用科学记数法表示为（ ） A．0.13×105
B．1.3×104
C．1.3×105
D．13×104
7．（3分）为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如表统计表： 步数（万步）
天数
1.0 3
1.1 5
1.2 3
1.3 12
1.4 7
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A．1.3，1.1
B．1.3，1.3
C．1.4，1.4
D．1.3，1.4
8．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）三角形的外接圆的圆心是指三角形什么线的交点（ ） A．三边中线 C．三边高线
B．三边垂直平分线 D．三内角的平分线
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ） ①对称轴为直线x＝﹣1； ②b2﹣4ac＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1； ④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）有理数﹣的倒数为 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'，则A'的坐标为 ．
13．（4分）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为 ．
14．（4分）如图所示，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠A的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（1）计算：（2）解不等式组：
tan60°﹣
﹣4sin45°+（π﹣2020）0； ．
16．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
17．（8分）如图，在甲楼上挂着“众志成城，控制疫情”的宣传条幅AE，小明从乙楼D处，看条幅顶端A测得仰角为45°，看条幅底端E测得俯角为31°，已知甲、乙两楼相距40米，求条幅AE的长．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）．
18．（8分）某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少？
（3）若该校九年级有600名学生，请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人？ 19．（10分）如图，直线y＝k1x+5（k为常数，并且k≠0）与双曲线y＝B两点．
（1）求直线AB的解析式； （2）求点B的坐标；
（3）若直线y＝k1x+m与双曲线y＝
有且只有一个公共点，求m的值．
交于A（﹣2，4），
20．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，连接FO并延长交⊙O于点G，已知DE＝3，tan∠CDA＝2． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：OA2＝OB?OE； （3）求线段EG的长．
二、填空题（本大题共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）比较大小：
﹣3 0．（填“＞”、“＝”或“＜”号）
22．（4分）如图所示，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中有点A、点B两个格点，在网格的格点上任意放置点C（点A、B除外），恰能使△ABC的面积为1的概率是 ．
23．（4分）设α、β是方程x2﹣x﹣2020＝0的两根，则α2+β2的值为 ．
24．（4分）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝9x为 ．
﹣1
的图象上，则点P的坐标
25．（4分）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则
PA+PC的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件． （1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．
（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？
27．（10分）如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．
（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；
（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P1，P2，且P1P2＝2，求a的值； （3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．
（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式； （2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；
（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．
2020年四川省成都市郫都区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上
1．（3分）下面如图摆放的正方体、圆锥、圆柱、球，其三视图都是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三视图的画法对各选项进行判断．
【解答】解：正方体的三视图都是正方形；球的三视图都是圆，而圆锥、圆柱的三视图不相同． 故选：A．
2．（3分）李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作（ ） A．256
B．﹣957
C．﹣256
D．445
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：公元701年用+701年表示，则公年前用负数表示；则公年前256年表示为﹣256年． 故选：C． 3．（3分）在代数式A．m≤3
中，m的取值范围是（ ） B．m≠0
C．m≥3
D．m≤3且m≠0
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：解得：m≤3且m≠0 故选：D．
4．（3分）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．68°
B．58°
C．48°
D．32°
【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角构建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．
【解答】解：如图所示：
∵AD∥FE， ∴∠2＝∠3，
又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 又∵∠1＝32°， ∴∠3＝58°， ∴∠2＝58°， 故选：B．
5．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5
B．a2?a3＝a6
C．a3÷a2＝a
D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误； B、a2?a3＝a5，故此选项错误； C、a3÷a2＝a，正确；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误； 故选：C．
6．（3分）中国高速路里程已突破13万公里，居世界第一位，将13万用科学记数法表示为
（ ） A．0.13×105
B．1.3×104
C．1.3×105
D．13×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将13万用科学记数法表示为：1.3×105． 故选：C．
7．（3分）为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如表统计表： 步数（万步）
天数
1.0 3
1.1 5
1.2 3
1.3 12
1.4 7
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A．1.3，1.1
B．1.3，1.3
C．1.4，1.4
D．1.3，1.4
【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.3，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．
【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.3，即众数是1.3．
要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数都是1.3，所以中位数是1.3． 故选：B．
8．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．此图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； D．此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D．
9．（3分）三角形的外接圆的圆心是指三角形什么线的交点（ ）
A．三边中线 C．三边高线
B．三边垂直平分线 D．三内角的平分线
【分析】根据外心的定义直接进行判断即可．
【解答】解：根据三角形的外心应到三角形三个顶点的距离相等和线段垂直平分线的性质知，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：B．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ） ①对称轴为直线x＝﹣1； ②b2﹣4ac＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1； ④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；根据x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确； ∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0）， ∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，
即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确． 故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）有理数﹣的倒数为 ﹣ ． 【分析】根据倒数的定义求解可得． 【解答】解：有理数﹣的倒数为﹣， 故答案为：﹣．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'，则A'的坐标为 （2，3） ．
【分析】利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律求解可得． 【解答】解：点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'的坐标为（﹣2+4，3），即（2，3）， 故答案为：（2，3）．
13．（4分）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为 100cm ．
【分析】确定出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【解答】解：∵跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，AC、OD都与地面垂直， ∴OD是△ABC的中位线， ∴AC＝2OD＝2×50＝100cm． 故答案为100cm．
14．（4分）如图所示，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠A的度数为 75° ．
【分析】根据旋转变换的性质得出OA＝OD，∠AOD＝30°，再利用等腰三角形两底角相等可得答案．
【解答】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形， ∴OA＝OD，∠AOD＝30°， ∴∠A＝
故答案为：75°．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（1）计算：（2）解不等式组：
tan60°﹣
﹣4sin45°+（π﹣2020）0； ．
＝75°，
【分析】（1）将特殊锐角的三角函数值代入、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【解答】解：（1）原式＝＝3﹣3＝4﹣5
（2）解不等式①，得：x≥﹣2， 解不等式②，得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜2． 16．（6分）先化简，再求值（1﹣
）÷
，其中x＝
+1．
﹣2；
+1
×
﹣3
﹣4×
+1
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（1﹣
）÷
＝＝＝当x＝
，
+1时，原式＝＝．
17．（8分）如图，在甲楼上挂着“众志成城，控制疫情”的宣传条幅AE，小明从乙楼D处，看条幅顶端A测得仰角为45°，看条幅底端E测得俯角为31°，已知甲、乙两楼相距40米，求条幅AE的长．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可得，四边形DCBF是矩形，根据三角函数即可求出AF和EF的长，进而可得条幅AE的长． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F， 根据题意可知： 四边形DCBF是矩形， ∴∠DFA＝∠DFE＝90°， DF＝BC＝40（米），
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°， ∴AF＝DF＝40（米），
在Rt△DFE中，∠EDF＝31°，
∴EF＝DF×tan∠EDF≈40×0.60≈24（米）， ∴AE＝AF+EF＝64（米）． 答：条幅AE的长为64米．
18．（8分）某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结
合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少？
（3）若该校九年级有600名学生，请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人？ 【分析】（1）根据A等人数为10人，占扇形图的20%，求出总人数，可以得出D的人数，即可画出条形统计图；
（2）根据D的人数即可得出所占百分比，进而得出所在的扇形的圆心角度数； （3）利用总体人数与A组所占比例即可得出A级学生人数． 【解答】解：（1）总人数是：10÷20%＝50， 则D级的人数是：50﹣10﹣23﹣12＝5． 条形统计图补充如下：
；
（2）D级的学生人数占全班学生人数的百分比是：1﹣46%﹣20%﹣24%＝10%； D级所在的扇形的圆心角度数是360×10%＝36°；
（3）∵A级所占的百分比为20%， ∴A级的人数为：600×20%＝120（人）．
19．（10分）如图，直线y＝k1x+5（k为常数，并且k≠0）与双曲线y＝B两点．
（1）求直线AB的解析式； （2）求点B的坐标；
（3）若直线y＝k1x+m与双曲线y＝
交于A（﹣2，4），
有且只有一个公共点，求m的值．
【分析】（1）根据直线y＝k1x+5过点A（﹣2，4）得方程，解方程即可得到结论； （2）由于点A（﹣2，4）在双曲线y＝
上，得到k2＝﹣2×4＝﹣8，求得双曲线的解
析式为y＝﹣，解方程组即可得到结论； （3）将y＝x+m代入y＝
得到x2+2mx+16＝0，根据题意即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝k1x+5过点A（﹣2，4）， ∴﹣2k1+5＝4， ∴k1＝，
∴直线AB的解析式为y＝x+5； （2）∵点A（﹣2，4）在双曲线y＝∴k2＝﹣2×4＝﹣8，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
上，
解方程组得，，，
∴点B的坐标为（﹣8，1）； （3）将y＝x+m代入y＝
得，x2+2mx+16＝0，
∵直线y＝x+m与双曲线y＝∴△＝（2m）2﹣4×1×16＝0， ∴m＝±4．
有且只有一个公共点，
20．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，连接FO并延长交⊙O于点G，已知DE＝3，tan∠CDA＝2． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：OA2＝OB?OE； （3）求线段EG的长．
【分析】（1）如图，连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，根据角平分线的定义得到∠OAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论； （2）根据射影定理即可得到结论；
（3）如图，连接DG，根据全等三角形的性质得到∠CDA＝∠EDA，于是得到tan∠EDA＝tan∠CDA＝2，求得AE＝6，设OD＝x，则OE＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵⊙O经过D， ∴OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴AC∥OD， ∴OD⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ODB＝90°，DE⊥AB， ∴由射影定理得，OD2＝OB?OE， ∵OA＝OD， ∴OA2＝OB?OE；
（3）解：如图，连接DG， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°， ∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴∠CDA＝∠EDA， ∴tan∠EDA＝tan∠CDA＝2， ∵DE＝3， ∴AE＝6，
设OD＝x，则OE＝6﹣x， ∵OD2＝OE2+DE2， ∴x2＝（6﹣x）2+32， 解得：x＝
，
∵DE⊥AB且AB过圆心O， ∵DF＝2DE＝6， ∴DG＝
＝，
，
∵EG2＝DE2+DG2＝32+（）2＝∴EG＝
．
二、填空题（本大题共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）比较大小：【分析】首先分别求出
﹣3 ＜ 0．（填“＞”、“＝”或“＜”号）
、3的平方各是多少，然后根据实数大小比较的方法，判断出
、3的大小关系，据此推得
、
3的平方的大小关系，即可判断出可． 【解答】解：∵5＜9， ∴∴
＜3， ﹣3＜0．
＝5，32＝9，
﹣3、0的大小关系即
故答案为：＜．
22．（4分）如图所示，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中有点A、点B两个格点，在网格的格点上任意放置点C（点A、B除外），恰能使△ABC的面积为1的概率是
．
【分析】按照题意分别找出点C所在的位置：当点C与点A在同一条直线上时，符合条件的点C有2个；当点C与点B在同一条直线上时，符合条件的点C有2个，再根据概率公式求出概率即可．
【解答】解：如图，可以找到4个恰好能使△ABC的面积为1的点， ∴概率为：故答案为：．
＝．
23．（4分）设α、β是方程x2﹣x﹣2020＝0的两根，则α2+β2的值为 4041 ．
【分析】先根据根与系数的关系得出α+β＝1，αβ＝﹣2020，再代入α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ计算可得．
【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣2020＝0的两根， ∴α+β＝1，αβ＝﹣2020， 则α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ ＝12﹣2×（﹣2020） ＝1+4040 ＝4041， 故答案为：4041．
24．（4分）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝9x（3，3） ．
﹣1
的图象上，则点P的坐标为
【分析】先判断出四边形MONP是矩形，再利用角平分线定理判断出PM＝PN，进而得出矩形MONP是正方形，设出点P的坐标，代入反比例函数解析式中即可得出结论． 【解答】解：如图，
过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于AB， ∴∠PMO＝∠PNO＝90°， ∵∠MON＝90°，
∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON，
∴四边形MONP是矩形， ∵PM⊥OA，PH⊥AB， ∵AP是∠BAM的平分线， ∴PM＝PH， 同理：PN＝PH， ∴PM＝PN，
∴矩形MONP是正方形， 设点P（m，m）， ∵P在反比例函数y＝9x∴m＝9m1，
﹣
﹣1
的图象上，
∴m＝﹣3（舍）或m＝3， ∴P（3，3）， 故答案为：（3，3）．
25．（4分）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则
PA+PC的最小值为 ．
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH＝AC＝△BPD∽△BCP得到PD＝
PC，所以PA+
，接着证明
PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅
当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA+论．
PC的最小值，乘以可得结
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，
∵AC为切线， ∴BH为⊙B的半径， ∵∠B＝90°，AB＝CB＝2， ∴AC＝
BA＝2
， ，
∴BH＝AC＝∴BP＝∴∴
， ，，
，
而∠PBD＝∠CBP， ∴△BPD∽△BCP， ∴∴PD＝∴PA+
， PC， PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时且P在AD之间时取等号）， 而AD＝
＝
， ，
， ．
∴PA+PD的最小值为即PA+则
PC的最小值为
PA+PC的最小值
．
故答案为：
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件． （1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．
（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）每件涨0.5元，其销量就减少10件．那么涨价1元，销量就减少20件． 设涨价x元，每件的利润＝10+涨价的价格﹣8，销售量为：（200﹣20x）件，利润＝每件的利润×相应的数量，把相关数值代入计算即可；
（2）根据（1）得到的利润配方整理为a（x﹣h）2+k可得应涨价的价格和最大利润． 【解答】解：（1）设涨价x元， （10+x﹣8）×（200﹣20x）＝700， 解得x1＝3，x2＝5，
∴此时的售价为10+3＝13或10+5＝15，
答：售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；
（2）利润为：（10+x﹣8）×（200﹣20x）＝﹣20x2+160x+400＝﹣20（x﹣4）2+720， 当涨价4元时即售价为14元时，利润最大，为720元．
27．（10分）如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．
（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；
（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P1，P2，且P1P2＝2，求a的值； （3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．
【分析】（1）证得△ABP∽△PDC，根据相似三角形的性质即可求得；
（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x，根据相似三角形的性质得到x2﹣ax+24＝0，设方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系可知x1+x2＝a，x1?x2＝24，根据题意即可得到＝（x1+x2）
2
﹣4x1x2＝4，即可得到a2﹣4×24＝4，解得即可；
（3）作∠AEP＝∠CFP＝120°，解直角三角形求得BE＝2CF＝﹣
，根据相似三角形的性质得到x2﹣（a﹣）2﹣4×1×32＝0，即可即可．
，DF＝，AE＝4，
）x+32＝0，根据题意△＝（a
【解答】解：（1）∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°， ∴∠A+∠APB＝∠CPD+∠APB＝90°， ∴∠A＝∠CPD， ∴△ABP∽△PDC， ∴
＝
，即
＝
，
解得BP＝2或12；
（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x， 由（1）可知△ABP∽△PDC， ∴
＝
，即
＝，
∴x2﹣ax+24＝0，
设方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系可知x1+x2＝a，x1?x2＝24， ∵P1P2＝2， ∴|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4， ∴a2﹣4×24＝4，
解得a＝±10（负数舍去）， ∴a＝10；
（3）作∠AEP＝∠CFP＝120°， ∴∠AEB＝∠CFD＝60°， ∵AB＝6，CD＝4， ∴BE＝
AB＝2
，DF＝，CF＝2DF＝
CD＝
，
∴AE＝2BE＝4
∵∠AEP＝∠CFP＝∠APC＝120°， ∴∠EAP＝∠CPF，
∴△EPA∽△FCP， ∴
＝
，
﹣x， ，
设EP＝x，则PF＝a﹣∴
＝
∴x2﹣（a﹣∵△＝0， ∴（a﹣∵a＞0， ∴a＝
+8
）x+32＝0，
）2﹣4×1×32＝0，
．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．
（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式； （2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；
（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．
【分析】（1）根据原抛物线经过点（﹣2，5），A（﹣1，0），B（3，0），即可求出原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，证明四边形BCB'C′是平行四边形，面积为40，即可求m的值；
（3）过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，得MO?MD＝BO?CD．由二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），可得CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出a满足的条件．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得，
∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4）， ∴C（1，﹣4）， ∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6． ∴E（0，﹣6），
∵抛物线绕点M旋转180°，
∴MB＝MB′，MC＝MC′， ∴四边形BCB′C′是平行四边形， ∴S△BCM＝×40＝10，
∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE＝×（3﹣1）×ME＝ME， ∴ME＝10， ∴m＝4或m＝﹣16；
（3）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间， 当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM， ∴
＝
，
即MO?MD＝BO?CD．
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0）， ∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3， ∴﹣m（m+4a）＝3， ∴m2+4am+3＝0，
∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0， ∴a≥所以a≥
．
时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．
2020年四川省成都市郫都区中考数学二诊试卷(含解析)
