专题02 常用逻辑用语
考点5 命题及其关系
1．（2020新课标III理16）关于函数f?x??sinx?1． sinx①f?x?的图像关于y轴对称；②f?x?的图像关于原点对称； ③f?x?的图像关于x??对称；④f?x?的最小值为2． 2其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取???x?0可判断命题④的正误．综合可得出结论．
515???1???f??2?f????2??【详解】对于命题①，??，?，则?222?6?2?6?∴函数f?x?的图象不关于y轴对称，命题①错误；
??????f????f??， ?6??6?对于命题②，函数f?x?的定义域为xx?k?,k?Z，定义域关于原点对称，
??f??x??sin??x??111????sinx????sinx????f?x?，
sin??x?sinxsinx??∴函数f?x?的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
11??????f??x??sin??x???cosx?cosx， ?2??2?sin???x????2???????f??x??f??x?， ?2??2?11??????f??x??sin??x???cosx?cosx，则?2??2?sin???x????2?∴函数f?x?的图象关于直线x??2对称，命题③正确；对于命题④，当???x?0时，sinx?0，则
f?x??sinx?1?0?2，命题④错误，故答案为：②③． sinx2.（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题
1p1：若复数z满足?R，则z?R；
z 1 / 15
p2：若复数z满足z2?R，则z?R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2?R，则z1?z2； p4：若复数z?R，则z?R．
其中的真命题为
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 【答案】B【解析】设z?a?bi（a,b?R），则
222211a?bi??2?R，得b?0，所以z?R，p12z(a?bi)a?b正确；z?(a?bi)?a?b?2abi?R，则ab?0，即a?0或b?0，不能确定z?R，p2不正确；若z?R，则b?0，此时z?a?bi?a?R，p4正确．选B．
3.（2011新课标）已知a，b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题
p1:|a?b|?1???[0,2?2?) p2:|a?b|?1???(,?] 33 p3:|a?b|?1???[0,其中真命题是
?) p4:|a?b|?1???(,?] 33?A．p1,p4 B．p1,p3 C．p2,p3 D．p2,p4 【答案】A【解析】由a?b?1a2?b2?2abcos??2?2cos??1得， cos???，
2?2?????0,?31?22cos??。由得 a?b?a?b?2abcos??2?2cos??1?2????????,??．选A．
?3?4.（2012新课标，理3）下面是关于复数z=
2的四个命题：p1：|z|=2；p2：z2?2i；p3：z的共轭?1?i复数为1?i；p4：z的虚部为－1；其中真命题为
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4
【答案】C.【解析】∵z=
2=?1?i,∴|z|=2，z2?2i，z的共轭复数为?1?i，虚部为－1，故p2，?1?ip4是真命题，故选C.
5.（2014陕西）原命题为“若
an?an?1?an，n?N?，则?an?为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命2题真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
2 / 15
【答案】A【解析】 从原命题的真假人手，由于
an?an?1?an?an?1?an??an?为递减数列，即原命题2和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A． 6.（2014江西）下列叙述中正确的是
A．若a,b,c?R，则\ax2?bx?c?0\的充分条件是\b2?4ac?0\ B．若a,b,c?R，则\ab2?cb2\的充要条件是\a?c\
C．命题“对任意x?R，有x2?0”的否定是“存在x?R，有x2?0” D．l是一条直线，?,?是两个不同的平面，若l??,l??，则?//?
【答案】D【解析】 \b2?4ac?0\推不出\ax2?bx?c?0\，因为与a的符号不确定，所以A不正确；当b2?0时，由\a?c\推不出\ab2?cb2\，所以B不正确；“对任意x?R，有x2?0”的否定是“存在x?R，有x?0”，所以C不正确．选D．
7.（2013陕西文）设z是复数, 则下列命题中的假命题是 A．若z2?0, 则z是实数 B．若z2?0, 则z是虚数 C．若z是虚数, 则z2?0 D．若z是纯虚数, 则z2?0 【答案】C【解析】设z?a?bi,a,b?R?z?a?b?2abi． 对选项A: 若z?0,则b?0?z为实数,所以z为实数为真．
对选项B: 若z?0,则a?0,且b?0?z为纯虚数,所以z为纯虚数为真．
22对选项C: 若z为纯虚数,则a?0,且b?0?z?0,所以z?0为假．
22对选项D: 若z为纯虚数,则a?0,且b?0?z?0,所以z?0为真．所以选C．
222228.（2012湖南）命题“若??A．若???4，则tan??1”的逆否命题是
?4，则tan??1 B．若???4，则tan??1
C．若tan??1，则???4 D．若tan??1，则???4
??【答案】C【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以 “若???4，则tan??1”的逆
否命题是 “若tan??1，则???4”．
9.（2012福建）下列命题中，真命题是 A．?x0?R,ex00 B．?x?R,2x?x2
C．a?b?0的充要条件是
a??1 D．a?1,b?1是ab?1的充分条件 b 3 / 15
【答案】D【解析】∵?x?R,e?0，故排除A；取x=2,则22?22，故排除B；a?b?0，取a?b?0，则不能推出
xa??1，故排除C；应选D． b22210.（2011山东）已知a,b,c?R，命题“若a?b?c=3，则a?b?c≥3”，的否命题是 222 A．若a?b?c?3，则a?b?c<3 222 B．若a?b?c?3，则a?b?c<3 222 C．若a?b?c?3，则a?b?c≥3 222 D．若a?b?c≥3，则a?b?c?3
222【答案】A【解析】a?b?c?3的否定是a?b?c?3，a?b?c≥3的否定是
a2?b2?c2<3，故选A．
11.（2011陕西）设a,b是向量，命题“若a??b，则a?b”的逆命题是 A．若a?b，则a?b B．若a??b，则a?b C．若a?b，则a?b
D．若a?b，则a??b
【答案】D【解析】根据定义若“若a?b，则a??b”．
12.(2018北京)能说明“若f(x)?f(0)对任意的x?(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】y?sinx（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)?f(0)对任意的x?(0,2]都成立，且函数f(x)在[0,2]上不是增函数即可，如，f(x)?sinx，答案不唯一．
考点6 简单逻辑联结词
1．（2020年高考全国Ⅱ卷文理16）设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p4：若直线l?平面?，直线m?平面?，则m?l．
则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p1?p4 【答案】①③④
【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题
②p1?p2
③?p2?p3
④ ?p3??p4
p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利
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专题02 常用逻辑用语——2021年高考数学专项复习含真题及解析
