第26届全国物理竞赛复赛第7题的巧妙解法

第26届全国物理竞赛复赛第7题的巧妙解法

金彪（浙江省上虞市春晖中学 312352）

原题：1．设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为M、以速度V沿光入射方向运动的理想反射镜（无吸收）上，试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量E′。可取以下近似：

EV????1，其中c为光速。 2cMc2.若在上述问题中单色光的强度为Φ，试求反射光的强度Φ′（可以近似认为光子

撞击镜子后，镜子的速度仍为V）。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子的能量。

ht参考解答：

1．光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为

Ec?MV??E?c?MV?错误！未找到引用源。

E?MV22?E??MV?22错误！未找到引用源。

由上面两式得：

/Ec+Ec+MV/ V=

M(Ec+E/c+MV)2E+MV2=E+2M /2/2(Ec+Ec)+2(Ec+Ec)MV+(MV)=(E/+E)-E+2M2/(E/+E)2V+(1+)(E/+E)-2E=0 得：2c2Mc-(1+得：E+E=/VV4E)±(1+)2+ccMc2

12×2Mc2V24EV(1+)+-(1+)ccMc2

12×2Mc2消去负值得：E+E=/分子分母同乘以(1+V24EV)++(1+) 2ccMc4EE?E??得：

1?Vc??1?Vc?2??4EMc22E．错误！未找到引用源。

1?Vc错误！未找到引用源。

E??E1?Vc．

1?Vc

错误！未找到引用源。

当

V1??1时，?1?Vc，可得 c1?VcE??E?1?2Vc?．

错误！未找到引用源。

2.考察时刻t位于垂直于光传播方向的截面A左侧的长为光在1s时间内所传播的距离c?1s、底面积为单位面积柱体内的光子，如图1所示．经过1s时间，它们全部通过所考察的截面．若单位体积中的光子数为n，根据光强的定义，入射光的强度

Φ?ncE

若A处固定一反射镜，则柱体的底面S2处的光子在时刻t到达位于A处的反射镜便立即被反射，以光速c向左移动；当柱体的底面S1在t+1s到达A处被反射镜反射时，这柱体的底面S2已到达A左边距离A为c?1s处，所有反射光的光子仍分布在长为c?1s、截面积为单位面积的柱体内，所以反射光的强度与入射光的强度相等．

如果反射镜不固定，而是以恒定的速度V向右移动，则在时刻t+1s柱体的底面S1到达A处时，反射镜已移到A右边距离为V?1s的N处，这时底面S2移到A左侧离A的距离为c?1s处，如图2中a所示.设再经过时间?t，S1与

镜面相遇，但这时镜面己来到N?处，因为在?t时间内，镜面又移过了一段距离V?t，即在时刻t?1s??t，底面S1才到达反射镜被反射．亦即原在S1处的光子须多行进cΔt的距离才能被反射．因此

c?t??1s??t?V 得 ?t?

V c?V而这时，底面S2又向左移了一段距离c?t．这样反射光的光子将分布在长为c?1s?2c?t的柱体内．因反射不改变光子总数，设n?为反射光单位体积中的光子数，有

cV?nc?n??c?2 c?V?故有 n??nc?V???n?cc?V ?c?V． c?V

根据光强度的定义，反射光的强度

? ???n?cE．

由各式得

2c?V????????．

c?V??注意到V??c有 ?????1???4Vc??． ?对于第一小题，有：

另解1：根据相对论多普勒效应解：

因为有

EVE<<<<1<

ccMc2子上时，镜子速度变化量可忽略不计，即可认为镜子做匀速运动。入射光子在地面参考系的

频率为：

γ=E， h由相对论多普勒效应，当镜子远离光源时，在镜子坐标系中，光子的频率为

γ1=γc-VEc-V， =c+Vhc+V对镜子参考系，反射光子与入射光子频率相等。此时镜子相当于反射光的光源，在地面上的

观察者同样是远离该光源的，故地面观察者观察到

γ/=γ1//c-VEc-V =c+Vhc+Vc-VE=hγ=E

c+V另解2：直接用波形运动解：

设某时刻波形与镜子间的位置关系如图所示,AB两点振动情况完全相同，即AB距离为一个波长λ。设此时波上A点的振动形式刚

/

A/B好传播到镜面，A点被反射，经过T时间，A点向右运动的距离为xA=cT，B点向左运动的距离为xB=cT，镜子向左运动的距离为x=VT，若此时B点恰好传播到镜子上，即B点与镜子的位移差等于一个波长，

//λ=cT/-VT/ λT=

c-V/此时AB两点的距离，即新的波长为：

λ/=xA+x=cT/+VT/=λ(c+V)，

c-V由波长之比，同样可以得到频率与能量之比。

对于第二小题，我们可以用上面另解2的思想方法。设一段光柱长为l，则经过反射后。

l(c+V)长度变为l=，光柱的横截面不变，长度增大，则光子数密度减小为

c-Vn(c-V)n/=，

c+V/而每个光子的能量也减小，

E/=Ec-V， c+V2根据光强度的定义，反射光的强度

c?V????????

?c?V?