2020_2021学年新教材高中数学素养等级测评第二章等式与不等式课时作业含解析人教B版必修一

20．(12分)已知关于x的方程x－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．

解析：(1)因为Δ＝[－(2m＋1)]－4m(m＋1)＝1>0， 所以不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)由于无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根， 故若要△ABC为等腰三角形，那么方程必有一个根为8. 不妨设AB＝x1＝8(x1是方程的一个根)， 则有8－8(2m＋1)＋m(m＋1)＝0， 即m－15m＋56＝0，解得m＝7或8， 故当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8. 21．(12分)设实数x，y满足2x＋y＝1. (1)若|2y－1|－2|x|<3，求x的取值范围； 1215

(2)若x>0，y>0，求证：＋－2xy≥. xy2

解析：(1)由2x＋y＝1，得y＝1－2x，所以不等式|2y－1|－2|x|<3，即为|4x－1|－2|x|<3，

??x<0，

所以有?

?1－4x＋2x<3?

2

2

2

2

1??0≤x≤，4或?

??1－4x－2x<3

1??x>，或?4??4x－1－2x<3，

11

解得－1

44所以x的取值范围为{x|－10，y>0,2x＋y＝1，

1212y4x所以＋＝(＋)(2x＋y)＝4＋＋≥4＋4＝8，

xyxyxyy4x1

当且仅当＝，即2x＝y＝时取等号．

xy2

2x＋y1

又－2xy≥－＝－，

221

当且仅当2x＝y＝时取等号，

21215所以＋－2xy≥，

xy21

当且仅当2x＝y＝时取等号．

2

22．(12分)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示)．池四周围墙的建造价格为400元/米，中间两道隔墙的建造价格为248元/米，池

底的建造价格为80元/米，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

2

200

解析：设污水处理池的长为x米，总造价为y元，则污水处理池的宽为米．

x200200

由题知y＝(2x＋×2)×400＋248×2×＋80×200

xx259 200

＝800x＋＋16 000≥

x2259 200

800x·＋16 000

x＝2×800×18＋16 000＝44 800.

259 200当且仅当800x＝，即x＝18时，y取得最小值．

x100

所以当设计污水处理池的长为18米，宽为米时，总造价最低，最低总造价为44 800

9元．