机械工程测试技术基础第三版课后题答案
1.1 求周期方波 (图 1-4 )的傅立叶级数 复指数函数形式) 。画出频谱图 |Cn|—ω ；
ω图
并与表
1-1 对比。 解：傅立叶级数的复指数形式表达式： x(t) Cnejn 0t
n 0, 1, 2, 3,
式中：
T
0
TC2
0 n
2
T0 x(t)e
jn 0t
dt
0
T
jn 0t
Ae jn 0tdt
2
T0
A)e
dt
0
2
0
T
0
jn 0t
jn 2
0t
T0
jn 0
T
0
T0
jn 0
2
jA jA n
jn
ejn
n
2A cosn
j
0;
n 1, 3, 5, 2, 4, 6,
所以：
x(t)
2A
ejn 0t
j
n
1, 3, 5, 7,
幅值频谱：
Cn2R Cn2I
2A 1, 3, 5,
相位频谱：
2A arctg C
nI
2 ;n 1,3,5,
CnR
arctg
2
;n 1,
3, 5,
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。
1.2 求正弦信号 x(t)=x0sinωt 的绝对均值 μ|x |和均方根值 x rms
解：
T
1 T0 2x
lim x(t)dt
x0sin tdt 0
;式中： T0
T0
TT10 T0
x0
xrms
000 2
x2(t)dt
0 x0 sin dt 22
dt
1.3 求指数函数 x(t)
Ae t ;(
0;t
0) 的频谱。
解：
X(f)
x(t)e j2 ft
dt
0
Ae
j2 ft
dt
.B
T 0 0
A j2 f
1.4 求符号函数(题图 1-1a)和单位阶跃函数(题图 1-1b)的频谱 . 解 :1) 符号函数的 频谱 :
令:
x1 (t) lim e t x(t) ; X1( f )
x1(t)e j2 ft dt
lim e t ( 1)e j 2 ftdt
e t e j2 ftdt
0
0
1
jf
2)单位阶跃函数的频谱 :
x2(t) lim e t
x(t) ;
0
X 2( f )
x2(t)e j2 ft2 2 dt lim e t e j2 ftdt
0 0
T1
e
j2 f0t e
j2 f0t e
j2 ft
dt
1.5 求被截断的余弦函数 cosω0t (题图 1-2)的傅立叶变换。
x(t)
cos 0t; tT 0;
tT
解：
X(f)
x(t)e j2 ft
dt
T cos2 f0te
j2 ft
dt
T
2
sin (f f0)2T sin ( f f0 )2T(f f0)2T ( f f0 )2T
T sinc 1 sinc 2
.B
1 j2 f
1.6 求指数衰减振荡信号(见图 1-11b)： x(t) e t sin 0t; ( 0,t 0) 的频谱 解：
j2 ft
X(f)
x(t)e dt
tj j2 ft
j2 ft
0
e
t
sin2 f0t e dt
j2 ft
0
j 2 f0t
e0
0
e
e0
j
2
2 1 j2 (f
e dt 1 j2 ( f f0)
ω0<ωm 时将会出现
f0)
1.7 设有一时间函数 f(t)及其频谱 (题图 1-3 所示 )，现乘以余弦型振荡 cosω0t ，(ω0>ωm)。 在这个关系
中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦型振荡 cosω0t 叫做载波。试求调幅信号 f(t )cosω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 什么情况？
解：
X(f)
x(t)e dt
1 1 j2 f0t f(t) 2
j2 ft
f (t)cos2 ft e dt
0
j2 ft
e
ej2 f0t e j2 ftdt
1
F(2 f 2 1
F(2 f 2 f0) 2
2 f0)
当 ω0< ωm 时，将会出现频率混叠现象
2
1.8 求正弦信号 x(t)=x0sin( ω0t+φ)的均值 μx 和均方值 φx 和概率密度函数 p(x)
解：将 x(t)=x0sin( ω0t+φ)写成(ω0t+φ)=arcsin(x(t)/ x0)
等式两边对 x 求导数：
1 dt 1
dx
x0
222
0 x(t) 0 x0 x (t)
1 x0
x(t)
1
.B
《机械工程测试技术基础》第三版熊诗波黄长艺课后答案
