2017-2018学年高三数学苏教版必修4学案：2.2.3 向量的数乘

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2.2.3 向量的数乘

1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点) 2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理． 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．

[基础·初探]

教材整理1 向量的数乘定义

阅读教材P68第一、二、三个自然段，完成下列问题．

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.

实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa＝0，则λ＝0.( )

(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( ) (3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( ) 【解析】 (1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0，(1)错误．

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(2)正确．

(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 向量数乘的运算律

阅读教材P68倒数第2自然段，完成下列问题． 1．λ(μa)＝(λμ)a； 2．(λ＋μ)a＝λa＋μa； 3．λ(a＋b)＝λa＋λb.

1．5×(－4a)＝________.

【解析】 5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a. 【答案】 －20a

2．a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________. 【解析】 a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1. 【答案】 4e1

教材整理3 向量共线定理 阅读教材P70，完成下列问题．

如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.

1．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是________． ①a＝2e1，b＝2e2；

②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； 21

③a＝4e1－5e2，b＝e1－10e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.

【解析】 ∵e1与e2不共线，∴①不正确； 对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．

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【答案】 ②③

→→→

2．已知AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)． →→

则AB与BD________.

→→→→

【解析】 ∵BD＝BC＋CD＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB， →→

∴BD与AB共线． 【答案】 共线

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型] 计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；

7??21??7?13?b＋?(2)2??3a＋2b?－3a－b?－6?2a＋7?6a????； ???(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．

【精彩点拨】 利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．

【自主解答】 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.

向量数乘的基本运算 2