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证明不等式的基本方法
导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式．
[自主梳理]
1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c>0，那么_________________________，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于a1＋a2＋…＋ann
它们的几何平均，即≥a1·a2·…·an，当且仅当__________________时等
n
号成立．
3.证明不等式的常用五种方法
(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小．
(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．
(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法
①反证法的定义
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点
先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．
题型一 用比差法与比商法证明不等式
2
1.设t＝a＋2b，s＝a＋b＋1，则s与t的大小关系是( A ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s 22 【解析】∵s－t＝b－2b＋1＝(b－1)≥0，∴s≥t.【答案】A 222 2.设a＝(m＋1)(n＋4)，b＝(mn＋2)，则( D ) A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．a≥b 222222 解析：∵a－b＝(m＋1)(n＋4)－(mn＋2)＝4m＋n－4mn＝(2m－n)≥0，∴a≥b.答案：D 3.设a,b∈R,给出下列不等式:①lg(1+a2)>0;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+3ab>2b2;④其中所有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a+b-2(a-b-1)=(a-1)+(b+1)≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②. 2 2 2 2 , 学习必备 欢迎下载 题型二 用综合法与分析法证明不等式 4.(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋ 1 2≥2y＋3； x－2xy＋y 2 (2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3. 证明 (1)因为x>0，y>0，x－y>0， 11 2x＋22－2y＝2(x－y)＋2＝(x－y)＋(x－y)＋x－2xy＋y－ 3≥3 － 2 1 － 2 1－ 2 1 ＝3，所以2x＋22≥2y＋3. x－2xy＋y 2 (2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥3，只需证明(a＋b＋c)≥3. 222 即证：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1， 222 故需证明：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 222 即证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 222222a＋bb＋cc＋a222 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立． 222 所以原不等式成立． 5.已知a、b都是正实数，且ab＝2.求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：法一 因为a、b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥22ab＝4. 所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9. ?2??1?法二 因为ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋2a)?1＋?＝5＋2?a＋?. ?a??a?1 因为a为正实数，所以a＋≥2 a 1 a·＝2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9. a ?bb?法三 因为a、b都是正实数，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋a＋a)·?1＋＋??22? 3b23a2b2 ≥3·a·3·＝9·.又ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)≥9. 44 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 题型三 放缩法证明不等式 111ab 6.已知0 b1＋a1＋b1＋a1＋b A. M>N B. M 1 解析：∵0 b 1－a1－b2－2ab ∴M－N＝＋＝>0.答案：A 1＋a1＋b?1＋a??1＋b? |a＋b||a||b| 7.若a，b∈R，求证：≤＋. 1＋|a＋b|1＋|a|1＋|b| 证明 当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时， 11 由0<|a＋b|≤|a|＋|b|?≥， |a＋b||a|＋|b| |a＋b|11|a|＋|b|所以＝≤＝ 1＋|a＋b|111＋|a|＋|b| ＋11＋|a＋b||a|＋|b| 3 2 学习必备 欢迎下载 |a||b||a||b|＝＋≤＋. 1＋|a|＋|b|1＋|a|＋|b|1＋|a|1＋|b|思维升华 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： 11111212 ①变换分式的分子和分母，如2<，2>，<，>. k－k＋kk＋k－1kk＋k＋1上面不等式中k∈N，k>1； ②利用函数的单调性； aa＋m ③真分数性质“若0 bb＋m (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度． 1111 8.设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1. 2n＋1n＋22n 证明 由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得 111≤<. 2nn＋kn 111111111 当k＝1时，≤<；当k＝2时，≤<；…，当k＝n时，≤<， 2nn＋1n2nn＋2n2nn＋nn 1n111n∴＝≤＋＋…＋<＝1.∴原不等式成立． 22nn＋1n＋22nn题型四 用反证法证明不等式 9.设a>0,b>0,且a+b= 2* .证明: 2 (1)a+b≥2; (2)a+a<2与b+b<2不可能同时成立. 【解析】由a+b= ,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2 2 2 =2,即a+b≥2. 2 (2)假设a+a<2与b+b<2同时成立,则由a+a<2及a>0得0 11 10.若a>0，b>0，且＋＝ab. ab 33 (1)求a＋b的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由． 112 【解】(1)由ab＝＋≥，得ab≥2.当且仅当a＝b＝2时等号成立． abab 故a＋b≥2ab≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a＋b的最小值为42. (2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 1.证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法． 2.应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真． 3.放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加 3 3 33 3 3 2 2
不等式证明的常用基本方法(自己整理)
