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阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 根据以上数据回答下面的问题： （1）哪种玉米苗长得高？ （2）哪种玉米苗长得齐？
[分析] ：看哪种玉米苗长得高，只要比较甲乙两种玉米苗的平均高度即可；要比较哪种玉米苗长得齐，只要比较哪种玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齐，因为方差反映的是一组数据的稳定程度
x甲?110110?25?27?41?40?37?22?14?19?39?21?42??30?cm?解：（1）
x乙?
?16?44?27?44?16?40?40?16?40??31?cm? ?x甲?x乙 ? 乙种玉米长得高s甲2
（2）
2222221??25?30???41?30???40?30???37?30???22?30???14?30?????? 10??19?30?2??39?30?2??21?30?2??42?30?2????104.2cms乙?2?2?
22110?2??27?31?2?3??16?31??3??40?31??2??44?31?222??128.8?cm?
2?x甲?x乙 ? 甲种玉米长得齐
评： 1. 特别注意本题中的两问的说法的不同，所以算法就不同2. 一般的说哪组数据齐、稳定、
波动情况等都是通过方差来判断
ⅳ.几个重要的结论：对于一组数据x1 , x2 , ... , xn的平均数为x 方差为s2 标准差为s
2① 若xi ,?i?1, 2 , ... , n? 都增加a ,则平均数为 x?a 方差为 s 标准差为 s
也可以这样解释：同时增加a，也就是相当数据平移了，不会改变数据的波动程度，所以方差
和标准差都不会变.
2②若xi ,?i?1, 2 , ... , n? 都递增a%，则平均数为 ?1?a%?x 方差为 ?1?a%?s 标准差为
2?1?a%?s
22③若xi ,?i?1, 2 , ... , n? 都变为原来的a倍，则平均数为 ax 方差为 as 标准差为 as
例题: 已知x1 , x2 , ... , xn的方差为2，则2x1?3 , 2x解法1：（公式推导法）
2?3 , ... , 2xn?3 的标准差为 ？
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共26 页第 16页4/18/2013
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阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 ?x1?x2?...?xnn1?x ??2x1?3???2x22?3??...??2xn?3?n?2x?3
?方差????2x6i?1ni?3??2x?3????4?1??x6i?1ni?x?2?4?s2?4?2?8
?标准差?22
解法2：（推理法）
因为数据的每一项都是先2倍后加上3，而加上3对方差没有影响，2倍后则方差变
为原来的4倍，即方差标为8 ，则标准差为 22.
? 线性回归方程
ⅰ.变量之间的关系：① 确定的函数关系 ② 相关关系（有一定的关系，但不能用函数表达出来） ⅱ. 对于一组数据探讨它们满足的关系，可以先画出散点图，看它们的大致趋势，然后选择一种
函数进行数据拟合，电脑和计算器一般给出6种拟合函数，也就是说对于一组数据可以用各种函数模型来拟合，只不过拟合度不同而已，当拟合度R2越接近于1则拟合得越好，本教材之研究线性拟合，也就是求线性回归方程
ⅲ. 线性回归分析：理论依据——最小二乘法 见课本 P72 ⅳ. 设线性回归方程为 y?bx?a，关键在于求a,b
n?n? b?i?1?n??n?xiyi???xi???yi??i?1??i?1?nn2n?x?i?1ni?1iyi?nx y?2i??xi?1nni?xyi?y?x???
??2n?xi???xi?i?1?i?1?a?y?bx
n?x?nx 2??xi?1i?2?xⅴ. 相关系数： r?ni?1iyi?n x yn? 称为y与x的样本相关系数
?222??2???xi?nx ???yi?ny ??i?1??i?1?当 r?0时,正相关 ; 当r?0时, 负相关 ; 并且r ?1 , r 越接近于1线性相关程度越高 r 越接近于0线性相关程度越低
ⅵ. 颜老师说明：
1. 由于公式的复杂，数据有的也较多，所以在具体做题目时可以列出表格来，对应填进去，然后用公式计算，这样就不会产生慌乱的感觉
2.做题目时要细心，不要乱，在我们高一阶段一般只给出5～6组数据，算起来已经不是很水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共26 页第 17页4/18/2013
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阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 难了 3. 当然这种拟合（我们主要学习线性拟合——就是求线性回归方程）在电脑里都可作出来图像来，而且求出相应的拟合度，有兴趣的同学可以在Excel软件里试一试
4.表格形式：
i xi yi xi 2yi 2xiyi 1 2 ? n 合计 n ni n 2n 2n?xi?1 ?i?1nyi ?i?12xi ?i?1nyi ?xi?1iyi x?1n?ni?1yi y?1nn?ni?1yi ?xi i?1?i?1yi 2?xi?1iyi 然后代入公式计算 §3. 概率
?
事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )
? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A 在n次实验中发生了m次，当实
验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为P?A??mn
说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件
时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有0?P?A??1
② 用?和?分别表示必然事件和不可能事件,则有P????1,P????0③如果事件
A和B互斥,则有:P?A?B??P?A??P?B?
? 古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生
的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生的概率都是水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共26 页第 18页4/18/2013
1n，
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阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 P?A??mn如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为
? 几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记
事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为
P?A??d的侧度D的侧度 （ 这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，一般地，线
段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
?互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，
事件A的对立事件 记为：A
?独立事件的概率：若A , B 为相互独立的事件事件若A1 , A2, ... , An 为两两独立的事件,则 P?AB??P?A?P?B?，
,则 P?A1A2...An??P?A1?P?A2?...P?An?
颜老师说明：① 若A , B 为互斥事件,则 A , B 中最多有一个发生,可能都不发生，但
不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ②
对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件A,B是互斥事件，则有P?A?B??P?A??P?B? ⑦ 一般地，如果
A1,A2,...,An 两两互斥，则有P?A1?A2?...?An??P?A1??P?A2??...?P?An? ⑧ P?A??1?PA ⑨ 在本教材中A1?A2?...?An 指的是A1,A2,...,An 中至少发生一个
??⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题
?例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共26 页第 19页4/18/2013
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阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 同的解法 解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为A 意
义为“选取2个球都是其它颜色球” ? PA???1(6?5)2 ?114 ? P?A? ?1 - PA?1 - ? 1515151?? 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为
1415 .
?15种情况，设事件 A 为“选取2个
4?32?14
解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有
6?52球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本事件数有4?2? 所以P?A??1415
1415答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取2个球至少有1
个是红球” ，事件A有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：
46?25 , 26?45 , 46?35， 则有 P?A??46?答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为
244314 ? ? ? ?? 565651514152 .
评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!
变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？
解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A， 意
义为“选取3个球都是白球”
? PA???C4C336?4321143?2?1 ???? ? P?A? ?1 - PA?1 - ?
(6?5?4)6545553?2?14?3?2??答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为
45 .
3解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有C6?6?5?43?2?1162045?20种情况，设事件 A 为“选
取3个球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本事件数有
2?C4?1?4?2?24?32?16， 所以 P?A??45?
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .
解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A的情况如水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共26 页第 20页4/18/2013
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