第4讲分式与分式方程
(问题分类
分式的化简求值.
(：学生常见错误
a
分式的性质用错，常会把分子分母同时加上同一个式子；
通分时a常会通分成-；添括号时不变符号；
加减的两个分式进行分子分母约分；代值时容易代入使分式无意义的数.
基本思路十
分式的化简求值首先把分式约分、通分
，再进行加减乘除运算，化简后把值代入.
题型攻略
X (x-y)1 2 3 4 二 1 故答案为：
-.
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的 关键，注意运算顺序.
【例题2】（2017毕节）关于
x的分式方程 二+5=丄有增根，则m的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
【考点】B5:分式方程的增根.
2 2
【解答】解:
原式-
通分的关键是寻找最简公分母 ，找分子、分母的公因式方法如下： 2 定系数：最大公约数.
3 定字母：相同字母取最低次幕.
4 若分子、分母是多项式应先把分子、分母因式分解 ，然后确定公因式. 化简求值类一定要先化简再求值
,分数线有括号的作用，去分母后分子要加括号，注意结果一定是
最简分式?化简时要有整体意识和符号意识. 【典例解析】 【例题1】(2017
山东临沂)计算：二^十(X-土尸丁)
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可.
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能 值，让最简公分母x-仁0,得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出 m的值. 【解答】解：方程两边都乘（x- 1）, 得 7x+5 （x- 1） =2m — 1, ???原方程有增根，
???最简公分母（x— 1） =0， 解得x=1，
当 x=1 时，7=2m— 1， 解得m=4， 所以m的值为4. 故选C.
【例题3】（20
仃哈尔滨）方程| =【的解为（ ）
A. x=3 B. x=4 C. x=5 D. x=— 5 【考点】B3:解分式方程.
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案. 【解答】解：2 （x— 1） =x+3， 2x— 2=x+3， x=5，
令 x=5代入（x+3） （x— 1）工 0， 故选（C）
【例题4】（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城 市环
境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多 结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（
A 30
20%,
）
30
30 「 r 30
：30 「
A.?—— A 二=5 B ?—^广5
30 30] 30
C. +5= ； D. — 「.. - .. =5 【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程. 【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程. 【解答】解：设原计划每天植树 x万棵，需要千天完成, 二实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要，
.
?提前5天完成任务, .30
30
\:
故选（A）
； ： ：=5,
,
【例题5】（2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上
了解到某种本子的单价比某种笔的单价少 4元，且用30元买这种本子的数量与用50元 买这种笔的数量相同.
（1） 求这种笔和本子的单价；
（2） 该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划 100元刚好用完，并 且笔和本子都买，请列出所有购买方案.
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用.
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x-4）元，根据题意可得等量 关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程 可得答案；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的 单价x这种笔的支数 m+本子的单价x本子的本数n=1000,再求出整数解即可. 【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x- 4）元，由题意得： 30 =妙 m ■'， 解得：x=10,
经检验：x=10是原分式方程的解， 贝U x- 4=6.
答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本， 由题意得：10m+6 n=100, 整理得：m=10- | n,
：：!
=， 再解方程
???m、n都是正整数，
???① n=5 时，m=7,② n=10 时，m=4，③n=15, m=1; 二有三种方案：
① 购买这种笔7支，购买本子5本； ② 购买这种笔4支，购买本子10本； ③ 购买这种笔1支，购买本子15本.
【专项训练】 一、选择题：
1.
（2017?乐山）若a2- ab=0 （b工0），则错误！未找到引用源。=（
）
A. 0 B.错误！未找到引用源。 C. 0或错误！未找到引用源。 【考点】64:分式的值.
【分析】首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值. 【解答】解：? a2- ab=0 （bM0）， ? a=0 或 a=b，
当a=0时，错误！未找到引用源。=0.
当a=b时，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， 故选C.
D. 1或2
【点评】本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值 为0的情况.
2.
（20仃山东聊城）如果解关于 x的分式方程」-Z?1时出现增根，那么m的值
为（ ） A.- 2 B. 2
C. 4 D.- 4
【考点】B5:分式方程的增根.
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能 值，让最简公分母X-2=0,确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可 得到正确的答案.
【解答】解：」-.\\=1, 去分母，方程两边同时乘以X-2,得: m+2x=x— 2, 由分母可知，分式方程的增根可能是 2, 当 x=2 时，m+4=2- 2,
m
= — 4,
故选D.
3.
（20仃贵州）分式方程不—T=1-士 的根为（ ）
A.- 1 或 3 B.- 1 C. 3 D. 1 或-3 【考点】B3：解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可 得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：3=/+x- 3x, 解得：x=- 1或x=3,
经检验x=— 1是增根，分式方程的根为x=3, 故选C
4.
（20仃山东临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6个，甲做
90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个?如果设乙 每小时做x个，那么所列方程是（
A 90^0 B 90 _60 ）
D 90 = 60
°
x K+6 X+6 K X-6 x x x-6
【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程. 【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个， 根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得
-打 TTiT-，， 故选：B.
【点评】本题考查了分是方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问 题的关键.
5.
（2017山东泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；
该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多 40%,每件衬衫的进价 比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进 x件衬衫, 则所列方程为（
）
帀而7
dn_14700
A 10000 10_ 14T00 B 10000 . 10= 14700 .飞1利觇升 B. c 1Q0Q0 .(l-40%)x
“—⑷ 00 n 100Q0 =立 .(l-40%)r +
= :X
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程.
中考数学题型专项研究第4讲：分式与分式方程
