习题10?5
1 按对坐标的曲面积分的定义证明公式
??[P1(x,y,z)?P2(x,y,z)]dydz???P1(x,y,z)dydz???P2(x,y,z)]dydz???
Si(Si)yz 则
Si同时又表示第i块小曲面的面 (?i
?i
解 证明把分成n块小曲面
积)
Si在yOz面上的投影为(
?i )是
Si上任意取定的一点
是各小块曲面的直径的最大值
??[P1(x,y,z)?P2(x,y,z)]dydz?n ?lim?[P1(?i,?i,?i)?P2(?i,?i,?i)](?Si)yz
??0i?1nn ?lim?P1(?i,?i,?i)(?Si)yz?lim?P2(?i,?i,?i)(?Si)yz
??0i?1??0i?1 ???P1(x,y,z)dydz???P2(x,y,z)]dydz??
2
当
为xOy面内的一个闭区域时
曲面积分??R(x,y,z)dxdy?与二重积分有什么关系？ 解 因为 当
z?0
(x y)Dxy 故
??R(x,y,z)dxdy????R(x,y,z)dxdy?Dxy
取的是上侧时为正号 取的是下侧时为负号
3 计算下列对坐标的曲面积分
?
(1)??x2y2zdxdy其中
是球面x2?y2?z2?R2的下半部分的下侧
的方程为z??R2?x2?y2 Dxy
x2?y2?R
于是
解
2222222??xy(?R?x?y)dxdy xyzdxdy?????Dxy ??d??r2cos2??r2sin??R2?r2?rdr002?R
2?R12 ??sin2?d??R2?r2r5dr?2?R7 400105 (2)??zdxdy?xdydz?ydzdx 其中z是柱面x2?y2?1被平面z?0及
?
z?3所截得的第一卦限内的部分的前侧
解 在xOy面的投影为零
故??zdxdy?0
?
可表示为x?1?y2 (y
z)?Dyz?{(y z)|0?y?1 0?z?3}
??xdyz?1?y2dydz?3121?D???0dz?01?ydy?3?01?y2dy
yz
可表示为y?1?x2 (z x)?Dzx?{(z x)|0?z?3 0?x?1}
??ydzdx???1?x2dzdx??3dz?11?x2dx?31?D00?01?x2dx
zx
因此
??zdxdy?xdydz?ydzdx?2(3?12?01?xdx)?6?4?32?
? 解法二 ?前侧的法向量为n?(2x? 2y? 0)? 单位法向量为 (cos?, cos?, cos?)?1x2?y2(x, y, 0)?
由两种曲面积分之间的关系?
???zdxdy?xdydz?ydzdx???(xcos??ycos??zcos?)dS
?故故
???(x??yx?y?)dS???x2?y2dS???dS?3??
2x2?y2x2?y2??
提示
??dS表示曲面的面积
??
其中
(3)??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy
z)为连续函数
是平面x?y?z ?1在第四卦限部分的上侧
(x
y)?Dxy?{(x
y)|0?x?1
f(x
y
解 曲面可表示为z?1?x?y
0?y?x?1}
?上侧的法向量为n?(1
1) 单位法向量为
(cos?, cos?, cos?)?(1, ?1, 1)333 ?1
由两类曲面积分之间的联系可得
?
??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy
? ???[(f?x)cos??(2f?y)cos??(f?z)cos?]dS ???(f?x)?1?(2f?y)?(?1)?(f?z)?1]dS
333? ?1??(x?y?z)dS?1??dS???dxdy?123?3?Dxy
(4)??xzdxdy?xydydz?yzdzdx? 其中是平面x?0 y?0 z?0 x?y?z?1
所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 解
?
12
1?
2?
3?
4
其中
x?0 y?0
Dyz Dzx
0?y?1 0?z1
0?z?1?y 0?x?1?z
于是
34
z?0 Dxy 0?x?1 Dxy
0?y?1?x
z?1?x?y 0?x?1 0?y?1?x
??xzdxdy??????????????1?2?3?4?0?0?0???xzdxdy?4
???x(1?x?y)dxdy??xdx?Dxy11?x00(1?x?y)dy?124
由积分变元的轮换对称性可知
??xydydz???yzdzdx?24???1
因此
1?1xzdxdy?xydydz?yzdzdx?3???248
解 ???1??2??3??4? 其中?1、?2、?3是位于坐标面上的三块?
?4? z?1?x?y? Dxy? 0?x?1? 0?y?1?x?
显然在?1、?2、?3上的曲面积分均为零? 于是
??xzdxdy?xydydz?yzdzdx
? ???xzdxdy?xydydz?yzdzdx
?4 ???(xycos??yzcos??xzcos?)dS
?4 ?3??(xy?yz?xz)dS?3??[xy?(x?y)(1?x?y)]dxdy?1?
8?4Dxy
把对坐标的曲面积分
4
?
??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy化成对面积的曲面积分
(1)为平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧 解 令F(x,y,z)?3x?2y?23z?6 n?(Fx,Fy,Fz)?(3, 2, 23)单位法向量为
?上侧的法向量为
(cos?,cos?,cos?)?1(3, 2, 23)5于是
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy??
???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ???1(3P?2Q?23R)dS5?
(2)是抛物面z?8?(x2?y2)在xOy面上方的部分的上侧 解 令F(x n?(Fx单位法向量为
y Fy
z)?z?x2?y2?8 Fz )?(2x
上侧的法向量 1)
2y
(cos?,cos?,cos?)?于是
1(2x, 2y, 1)221?4x?4y
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?? ???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ????1(2xP?2yQ?R)dS221?4x?4y
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案10-5
