双曲线常用结论
一、双曲线的第一定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．（口诀：看到左焦点，想到右焦点） 二、双曲线的第二定义:
1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(1,??)内常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率（点与线成对出现，左
对左，右对右）
x2y2a2a2对于2?2?1，左准线l1:x??；右准线l2:x? abccy2x2a2a2对于2?2?1，下准线l1:y??；上准线l2:y? abcc2、焦半径
圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。 双曲线的焦半径公式：
焦点在x轴（左焦半径）r1?a?ex0,（右焦半径）r2?a?ex0,其中e是离心率 焦点在y轴MF1?a?ey0,MF2?a?ey0其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左
加右减，上减下加PF1?a?c,PF2?a?c??双曲线上的点到焦点距离的最小值。
二、双曲线的第三定义:
x2y2在双曲线C：2?2?1?aabb0?中，A、B是关于原点对称的两点，
kPA、kPB存在，则有：
P是双曲线上异于A、B的一点，若
b2kPA?kPB=e?1=2
a2三、双曲线的焦点三角形:
1、通径： 为例，
圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴
??b2?2b2b2?弦AB 。坐标：A??c,?a??，B??c,a??弦AB长度： AB?a ????
1
2、焦点三角形解题主要关系式：
涉及焦点三角形面积时，可设|PF1|=
3、
m，|PF|=n，主要用结果：①定义
2
m-n=2a；
②|F1F2|=2c ；③余弦定理。 运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋
|PF2|)－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
2
x2y2?2?12b3、若P是双曲线：a上的点.F1,F2为焦点，若
?F1PF2??，则?PF1F2的面积为S??b/tan2
θ2 .
四、双曲线的中点弦问题：
(1)双曲线中点弦的斜率公式：
x2y2b2设M(x0,y0)为双曲线2?2?1弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有： kAB?kOM?2
aba
(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
x2y2在双曲线2?2?1中，以M(x0,y0)为中点的弦所在直
abb2b2x0线的斜率k=2；由（1）得kAB?kOM?2a ay0kABb21b2x0?2??2?akOMay0
口诀：中点弦用“点差”，不要忘记“Δ”。
x2y222?2?12xyb五、双曲线a（a＞0,b＞0）与双曲线2?2??（a＞0,b＞0）渐近线相同。 ab六、焦点⊿PF1F2的内切圆心横坐标为±a（x=a或者x=-a）即与实轴的切点一定是实轴端点。
七、焦点到渐近线的距离等于b。
P ?F1 （1）
八、弦长公式
直线与圆锥曲线相交所得的弦长
2
?F2
直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则它的弦长
2AB?1?k2x1?x2?(1?k2)??(x1?x2)?4x1x2???1?1k2|y1?y2|
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为
y1?y2?k(x1?x2)，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则AB?y1?y2.
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双曲线拓展知识常用结论（应该掌握） - 图文
