§2.6 对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，1的对数函数的图象． 23.体会对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数. x考情考向分析 以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型选择题、解答题均有，解答题的难度为中高档.
1．对数的概念
一般地，如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN． ②loga＝logaM－logaN． ③logaM＝nlogaM(n∈R)． (2)对数的性质 ①负数和零没有对数；
②loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1)． ③alogaNNnxMN＝N(a>0，a≠1，且N>0)．
④logaa＝N(a>0，且a≠1)．
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(3)对数的换底公式
logcblogab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
logca3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0 (5)当x>1时，y<0；当0 1．根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？ ②化简logamb. 提示 ①logab·logba＝1；②logamb＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系． nxnnm 提示 0 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × ) 2 (2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) 1＋x(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ ) 1－x?1，－1?，函数图象只 (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，?? ?a? 在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编 2．log29·log34·log45·log52＝________. 答案 2 3．已知a＝2?13，b＝log13，c＝log121，则a，b，c的大小关系为________． 23答案 c>a>b 解析 ∵0 4．函数y＝log2(2x?1)的定义域是______． 3答案 ??1?2，1??? 解析 由log2(2x?1)≥0，得0<2x－1≤1. 3∴1 2 . 题组三 易错自纠 5．已知b>0，logd5b＝a，lgb＝c,5＝10，则下列等式一定成立的是( ) A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 答案 B 6．若log3 a4 <1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________． 答案 ??3?0，4??? ∪(1，＋∞) 解析 当0 a4 ； 3 3 当a>1时，loga 4 ?3?∴实数a的取值范围是?0，?∪(1，＋∞). ?4? 对数式的运算 11ab1．设2＝5＝m，且＋＝2，则m＝________. ab答案 10 解析 由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 1111则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ablog2mlog5m解得m＝10. 2．设函数f (x)＝3＋9，则f (log32)＝________. 答案 6 解析 ∵函数f (x)＝3＋9， ∴f (log32)＝33．计算：答案 1 1－2log63＋ 解析 原式＝＝＝ 1－2log63＋ 2 xxxxlog32＋92 log32＝2＋9log94＝2＋4＝6. 1－log63 ＋log62·log618 ＝________. log64 log63 6 ＋log6·log66×3 3 log64 2 2 log63＋1－log64 log63 21－log63log66－log63log62 ＝＝＝1. 2log62log62log62 4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮5E1 度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7， 2E2天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A．10 10.1 B．10.1C．lg10.1D．10 －10.1 答案 A 4 5E1 解析 两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg， 2E2令m2＝－1.45，m1＝－26.7， E122 lg＝·(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10.1， E255E110.1＝10. E2 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 对数函数的图象及应用 例1 (1)已知函数f (x)＝loga(2＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( ) x A．0 解析 由函数图象可知，f (x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，1 logab)，由函数图象可知－1 －1－1 B．0 －1 －1 －1 a1 综上有0< a?1?x(2)方程4＝logax在?0，?上有解，则实数a的取值范围为__________． ?2? 答案 ?0， ??2?? 2? ?1??1?xx解析 若方程4＝logax在?0，?上有解，则函数y＝4和函数y＝logax在?0，?上有交点， ?2??2? 0 由图象知?1 loga≤2，?2? 解得0 2 . 2 5
2021高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6对数与对数函数教学案理新人教A版
