直线与圆、圆与圆的位置关系
【重难点精讲】
重点一、直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点． 重点二、几何判定法：
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：
(1)d>r?圆与直线相离；(2)d＝r?圆与直线相切；(3)d ??Ax＋By＋C＝0由???x－a2＋y－b 2＝r2 消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则 (1)Δ>0?直线与圆相交；(2)Δ＝0?直线与圆相切；(3)Δ<0?直线与圆相离． 重点四、圆与圆的位置关系： 2(r>0)与(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心距d＝(a?a)?(b?b) 两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r112222121222d>r1＋r2?两圆外离；d＝r1＋r2?两圆外切；|r1－r2| 当两圆内切时有一条公切线；当两圆外切时有三条公切线；相交时有两条公切线；相离时有四条公切线；内含时无公切线． 【典题精练】 考点1、直线与圆的位置关系 例1．已知直线l:3x?y?2?0，圆C:x?y?4x?4y?1?0. （1）判断直线l与圆C的位置关系，并证明； （2）若直线l与圆C相交，求出圆C被直线l截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l的最短距离. 【解析】（1）相交，证明如下；可将圆的一般方程C:x?y?4x?4y?1?0化为：(x?2)?(y?2)?9，可得其圆心：(?2,2)，半径为：3，由直线l:3x?y?2?0， 222222可得圆心到直线l的距离：d??23?2?21?3?3，故：d＜r，可得直线l与圆C相交； （2）由（1）得直线l与圆C相交，且圆心到直线l的距离d?故弦长为：2r2?d2?29?3?26. 3，考点2、弦长问题 例2．已知圆C的圆心在直线y?x?1上，且圆C经过点P?3,6?和点Q?5,6?. （1）求圆C的方程；（2）过点?3,0?的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程. 【解析】（1）由题意可知，设圆心为?a,a?1?，则圆C为：(x?a)?[y?(a?1)]?2， 22圆C经过点P?3,6?和点Q?5,6?， ?(3?a)2?[6?(a?1)]2?222??(x?4)?(y?5)?2； ，解得，则圆的方程为：Ca?422?(5?a)?[6?(a?1)]?2（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?k?x?3?，即k?y?3k?0， ?过点?3,0?的直线l截圆所得弦长为2，?d?|4k?5?3k|1?k2?1，解得k?12， 5?直线l的方程为12x?5y?36?0，当直线l的斜率不存在时，直线l为x?3，此时弦长为2符合题意. 综上，直线l的方程为x?3或12x?5y?36?0. 考点点睛： 设直线l的方程为ax＋by＋c＝0，圆O的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦长的方法通常有以下两种： (1)几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2r2－d2． ??ax?by?c?0(2)代数法：解方程组?，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式， 222??(x?x0)?(y?y0)?r则|AB|＝(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]＝?1?22??1?2[(y?y)?4y1y2]． 122?k?考点3、圆的切线问题 例3．已知点P?2?1,2?2，点M?3,1?，圆C:x1?2y224 (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)求过点M的圆C的切线方程． 【解析】由题意得：圆心C?1,2?，半径r（1） 2 ?2?1?1?2?2?2??2?2?4 ?P在圆C上 kPC12?2?2k???1 ????1 切线的斜率 kPC2?1?1?过点P的圆C的切线方程为y?2?2?x?（2） ???2?1，即x?y?1?22?0 ??3?1???1?2?22?5?4 ?M在圆C外部 若过点M的直线斜率不存在，直线方程为x?3，是圆C的切线； 若过点M的切线斜率存在，可设切线方程为：y?1?k?x?3?，即kx?y?3k?1?0 ?圆心C到切线的斜率d?k?2?3k?1k2?1??2k?1k2?1?2，解得：k? 34?切线方程为y?1?3?x?3?，即3x?4y?5?0 4综上所述：切线方程为x?3或3x?4y?5?0 考点点睛： 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数． 1 (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，k由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0． (2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出 切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0． 考点4、两圆位置关系的判断 例4．已知两圆C1：x?y?2x?10y?10?0和C2：x?y?2x?2y?1?0. 2222（Ⅰ）判断两圆的位置关系；（Ⅱ）求两圆公共弦所在直线方程；（Ⅲ）求两圆公共弦的长度. 【解析】（Ⅰ）C1：?x?1???y?5??16，C1?1,?5?，r1?4， 22C2：?x?1???y?1??1，C2??1,?1?，r2?1， 22∴C1C2??1?1????5?1?2222?25，∴r1?r2?C1C2?r1?r2，故C1与C2相交. 22（Ⅱ）因为两圆C1：x?y?2x?10y?10?0和C2x?y?2x?2y?1?0， 所以两方程相减得：4x?8y?9?0. （Ⅲ）设C1到4x?8y?9?0的距离为d，则d?4?40?942?82?75， 4弦长AB?2r12?d2?216?考点点睛： 49?511. ? 162 判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐，另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价；二是几何法，看两圆连心线的长d，若d＝r1＋r2，两圆外切；d＝|r1－r2|时，两圆内切；d>r1＋r2时，两圆外离；d<|r1－r2|时，两圆内含；|r1－r2| 考点5、由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围 例5．已知直线l:x?y?m?0与圆C:?x?1???y?1??9没有公共点，圆O1:?x?1???y?2??1与圆O2:?x?4???y?2??m2?m?0?相交，求m的取值范围. 【解析】圆C:?x?1???y?1??9的圆心C??1,1?，半径r?3， 22222222由题意可得，圆心C到直线的距离d?22m2?3，m?0，则m?32. 22圆O1:?x?1???y?2??1与圆O2:?x?4???y?2??m2?m?0?相交， 圆心O1?1,?2?，圆O1的半径R1?1，圆心O2?4,2?，圆O2的半径R2?m， ?R1?R2?OO12?R1?R2，即1?m?综上所述，实数m的取值范围是32,6. 考点点睛： ?1?4????2?2?22?1?m，解得4?m?6. ??两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．
直线与圆、圆与圆的位置关系题型归纳总结
