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习题九
一、选择题
9.1 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：
? (A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．
? (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．
? (C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．
(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．
［A(本章中不涉及导体)、 D ］ 9.2有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为
(A)
qqqq． (B) (C) ． (D) 3?04??03??06?0 ［D］
a a O a/2 题图9.1 q
9.3面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量?q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为
q2q2q2q2(A) (B) (C) (D) 22?0S2?0S2?0S?0S[B ]
9.4 如题图9.2所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点有正电荷?q，M点有负电荷?q．今将一试验电荷?q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功
(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 , 且为有限常量． (C) A＝∞． (D) A＝0． ［D，VO?0］
C -q M O +q N 题图9.2 D P
9.5静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能．
(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．
(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［C］
-q M 题图9.3 N
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9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度EM?EN． (B) 电势UM?UN．
(C) 电势能WM?WN． (D) 电场力的功A＞0．
［C］ 二、计算题
9.7 电荷为?q和?2q的两个点电荷分别置于x?1m和x??1m处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？ x ?2q ?q q0
解：设试验电荷q0置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得
q(?2q)??(?2q)?q0i??0?i??0 22224??0?x?1?4??0?x?1?4??0?x?1?4??0?x?1?即：
q?q01?x?1?22?(?2)?x?2x?1??2?x2?2x?1??0
?x?1?2?0??x?1??2?x?1??0
22x2?6x?1?0?x?(3?22)m。
因x?3?2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得
x?3?22m
9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷?Q，沿其下半部分均匀分布有电荷?Q，如题图9.4所示．试求圆心O处的电场强度．
+Q ??y dq y R O －Q 题图9.4 x d????x R O ??
处取微小电荷dq??dl?2Qd?/?，它在O
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处产生场强
dE?按?dqQ?d?
4??0R22?2?0R2Q2?2?0R2sin?d?
角变化，将dE分解成二个分量：
dEx?dEsin??精选文档
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dEy??dEcos???Q2?2?0R2cos?d?
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
???/2?Ex?2?sin?d???sin?d???0
2??0R2??0?/2??/2???Q?Q Ey?2cos?d??cos?d????2??22?2??0R?0??0R?/2?Q所以
??? E?Exi?Eyj??Q?j。
?2?0R2 9.9 如图9.5所示，一电荷线密度为?的无限长带电直导线垂直纸面通过A点；附近有一电量为Q的均匀带电球体，其球心位于O点。?AOP是边长为a的等边三角形。已知P处场强方向垂直于OP，求:?和Q间的关系。
解：如图建立坐标系。根据题意可知
?Ex?0??Q4??0a2??cos600?0 2??0aQ???0?Q???a。 a9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半
径的大小．
O r dr
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解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ：E??/2?0。以图中O点为圆心，取半径为r?r?dr的环形面积，其电量为dq??2?rdr。它在距离平面为a的一点处产生的场强
dER?2?0?a?r2??ardr23/2?
则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为
?aER?2?0?R220?a?r?rdr3/2? ?2?0?a?1??a2?R2??? ??由题意，ER?E/2??/4?0，得到
??a1??2?0?a2?R2???a??1???4?a2?R20???1a1， ????2222a?R?2a?a2?R2?4a2?a2?R2?R?3a。
9.11 如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为d，电荷线密度为??。过导线中点O作一半径为R[R?d2]的球面S，P为带电直导线的延长线与球面S的交点。求： （1）、通过该球面的电场强度通量?E。 （2）、P处电场强度的大小和方向。
解：（1）利用静电场的高斯定理即可得：?E?qint?0??d。 ?0
（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为x处取长度为dx的带电元，其所带电荷量为dq??dx，dq在P点产生的电场强度为
rdE?dq?dx??? ii224??0(R?x)4??0(R?x)P点的电场强度为
rrd2d2?E??dE?i??d2??i???d24??(R?x)24??00?dx?d(R?x)?i??d2(R?x)2??4??0d2?R?d2R?d2dy 2yR?d2?1??i??11?????R?d2R?d2? ?y?4????R?d2?0???1??(4R?2d)?(4R?2d)??i1??i?d? ????i??22????0?4R?2d4R?2d???0?(4R?2d)(4R?2d)???0(4R?d)?i???4??0
Ey?0, Ex?bx，9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：
Ez?0。高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真
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空介电常数?0＝8.85×10 C·N·m )
-12
2
-1
-2
解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：
?E1S1?E2S2?则
Q?0,(S1?S2?S)
Q??0S(E2?E1)??0Sb(x2?x1)??0a2b(2a?a)??0a3b?8.85?10?12C
9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a、b，电荷体密度为??Ar，
2?在球心处有一点电荷Q。证明：当A?Q(2?a)时，球壳区域内电场强度E的大小与半径r无关。
vv2E?dS?E?4?r?Q???dV/?0, 证：用高斯定理求球壳内场强： ??S?V?而
rA222?4?rdr?4?Ardr?2?Ar?a?? ?v?0ar2?A?r2?a2?QQAAa2E?????
4??0r24??0r24??0r22?02?0r2?dV??r
?? a Q b r Q a ? 图9.9
b ?要使E的大小与r无关，则应有 ：
QQAa2A?， 即。 ??02?a24??0r22?0r2
9.14 如题图9.10所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为??kx (0?x?b)，式中k为一正的常量．求：
(1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度；
(3) 场强为零的点在何处？
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大学物理学上下册习题与答案
