2018-2019学年交大附中高三下学期开学考数学试卷
一. 填空题
1. 已知集合A?{x|log2x?1}，B?{x|【答案】?0,1?
2. 已知复数z满足z(1?i)?1?i，则Rez? 【答案】0
3. 已知点A(2,1)，B(3,5)，C(5,2)，则△ABC面积是 【答案】
x?1?0}，则AB? x?211 21?a是奇函数，则实数a? 2x?14. 若f(x)?【答案】
1 25. 已知直线l1:(k?3)x?(4?k)y?1?0与l2:2(k?3)x?2y?3?0平行，则k? 【答案】3或5
x26. 已知P为?y2?1上动点，O为坐标原点，M为OP中点，则点M的轨迹方程为
4 【答案】x2?4y2?1
7. 已知平面向量PA、PB满足|PA|2?|PB|2?4，|AB|?2，设PC?2PA?PB，则
|PC|? 【答案】?0,2?
8. 已知f(x)?3sin(?x?)（??0）和gx()?2cos(2?6)x1???的图像的对称轴完全相同，
则x?[0,]时f(x)的取值范围是
?2【答案】??,3?
29. 已知?、?均为锐角，且cos(???)?sin(???)，则tan?? 【答案】1
10. 关于x不等式|ax?2|?6解集为(?1,2)，则实数a? 【答案】?4
11. 甲、乙、丙三人传球，每个人得到球后，等可能地传给其余两人，从甲开始传，设传n
?3???
次球后回到甲手中的概率为P(n)，则P(n?1)可用P(n)表示为 【答案】P(n?1)?1(1?P(n)) 2【解析】若球不在甲手中，则传回甲手中概率为以P?n?1??1，若在甲手中，传回甲的概率为0，所211??1?P?n???0?P?n????1?P?n?? 2212. 从1，2，3，???，n这n个连续正整数中，任取3个不同的数构成等差数列，已知这样的等差数列最多有180个，则n? 【答案】20
【解析】若a,b,c能构成等差数列，则2b?a?c，所a?c为偶数，则a,c同奇偶， 当n为偶数时，等差数列的个数为2?Cn?Cn??180，解得n?20
??22??22当n为奇数时，等差数列的个数为2?Cn-1?Cn+1??180，无解，所以n?20
??22??22二. 选择题
13. 不共面的四个定点到平面?的距离都相等，这样的平面?共有（ ） 【A】 3个
【B】 4个 【C】 6个 【D】 7个 【答案】D 14. 设(1?2x)2019?a0?a1x?a2x2?????a2019x2019，则
aa1a2的值为（ ） ?2?????20192019222【A】 2 【B】 0 【C】 ?1 【D】 1 【答案】C
15. 若f(x)?|x?1|?|2x?a|的最小值是3，则实数a的值为（ ） 【A】 5或8 【B】 ?1或5 【C】 ?1或4 【D】 ?4或8 【答案】D
16. 已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF，|EF|?2，长为4的线段AB的两端点分别在直线a、b上运动，则AB中点的轨迹为（ ） 【A】 椭圆 【B】 双曲线 【C】 圆 【D】 以上都不是 【答案】A
【解析】设直线a为xy平面上的y?3x,直线b为xz平面的z=2
设As,3s,0B?t,0,2?,中点M?x,y,z?,则s???2y2y,t?2x?3316AB?4,解得4x2?xy?4y2?12,旋转之后为椭圆3三. 解答题
17. 已知a?0，a?1，b?0，b?1，M?0. （1）求证：logaMn?nlogaM； （2）求证：logbM?
logaM.
logab【答案】（1）证明略；（2）证明略
n【解析】?1?logaM?logaM?M??M?logaM?logaM??logaM?nlogaM
logaMlogabttlogab???t?logbM ?2?设logbM?t,即M=b,logablogablogabt18. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AD、DC、CC1、A1B1的中点.
（1）求证：P、Q、R、S共面；
（2）求直线AB与平面PQRS所成角的正弦值. 【答案】（1）证明略；（2）【解析】?1?取BC中点M11
3 3PQSM?PQSM四点共面，所以P在平面QSM上
RMCB1QS?RMSQ四点共面，所以R在平面QSM上?PRSM四点共面?2?以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴建立坐标系设边长为2,则A?2,0,2?B?2,2,2?P?1,0,2?Q?0,1,2?R?0,2,1? ??n?PQ?0设平面PQRS的法向量为n??x,y,z?,则?解得一组法向量为n??1,1,1???n?PR?0设平面PQRS与直线AB所成角为?，则sin??AB?nAB?n?3319. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，(2a?c)BA?BC?cCB?CA. （1）求角B的大小；
（2）若|BA?BC|?6，求△ABC面积的最大值. 【答案】（1）B?【解析】?1??4；（2）
3(2?1). 2?2a?cc?a?cosB?c?a?b?cosC
?2sinAcosB?sinCcosB?sinBcosC2sinAcosB?sinCcosB+sinBcosC?sin?B?C??sinA cosB?2?,B?24?AC?b?6?2?BA?BCa2?c2?b2?2ac?2ac?6ac?32?2S?ABC???2?12
31?acsinB?2?x2y22220. 给定椭圆C:2?2?1（a?b?0），称圆心在原点O，半径为a?b的圆是椭
ab圆C的“准圆”，若椭圆C的一个焦点为F(2,0)，其短轴上一个端点到F的距离为3. （1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）设点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作椭圆C的切线l1、l2，试判断直 线l1、l2是否垂直，并说明理由；
（3）过点(,)作椭圆C的“准圆”的动弦MN，过点M、N分别作“准圆”的切线， 设两切线交于点Q，求点Q的轨迹方程.
ab22
x2?y2?1，【答案】（1）椭圆方程为准圆方程为x2?y2?4；（2）（3）3x?y?8 l1、l2垂直；3【解析】?1?由题可知c?2,a?3?b?1
x2所以椭圆方程式为?y2?1,准圆方程式为x2?y2?4
3?2?当切线斜率不存在时，此时P??3,?1?切线分别为x??3,y??1,相互垂直当切线斜率存在时，设P?x0,y0?，设切线为y?kx?m此时m?y0?kx0?y?kx?m?2222,解得1?3kx?6kmx?3m?3?0???x2??y?1?3???6km??4??1?3k2???3m2?3??02m2?3k2?1?0
?y0?kx0?2?3k2?1?0?x20?3?k2?2x0y0k?y02?1?0y02?14?x02?1k1k2?2???1x0?3x02?3所以两直线垂直?3?M?x1,y1?N?x2,y2?Q?x0,y0?过M点的切线为x1?x?x1??y1?y?y1??0,x1x?y1y?x12?y12?4过N点的切线为x2?x?x2??y2?y?y2??0,x2x?y2y?x22?y22?4?x1x0?y1y0=4Q在两切线上则，?MN直线为xx0?yy0=4??x2x0?y2y0=4又?31?31MN过点?，，所以x?y?4?22??22??
所以Q点轨迹方程为3x?y?821. 定义：对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分，{x}为其相应的小数部分，{x}?x?[x]，函数f(x)?[x]，g(x)?{x}.
2（1）求方程x?[x]?1?0的解；
（2）用周期函数定义证明g(x)是周期函数；
n（3）对数列{an}，an?2，n?N*，设函数hn(x)?[x?an][]，x?(a2n?1,a2n)，令hn(x) anx值域中元素和为bn，求数列{bn}前2019项和. 【答案】（1）x?
2；（2）证明略；（3）bn?12019?2(1?22019) 2
【解析】?1?x2??x??1有函数y?x2和y??x?的图像可知，交点的横坐标??1,2?
?x?1??x?,?1??x???1?1?0,?x??2?x??1?0,??x???1?2?负舍?22?x?1??x??2?2?x??x???x?,x?1???x??1???x?g?x?1???x??g?x?,所以g?x?周期为1
?3??x?x??22n?1,22n??????2n?1,2n?1?1,an?an?,2n?1?
n?1n?an??1??1????an??????,????????1???x?2???x???2?3?4n?1?2n?1 ?bn??22?31??1?42019?11??1?22019??1???22019?1?22019?T2019???????2?21?421?2??
2???n?1?2n?1??2n?1
2018-2019学年交大附中高三下学期开学考试卷
