6.稳态热传导问题的有限元法
本章的内容如下：
6.1热传导方程与换热边界
6.2稳态温度场分析的一般有限元列式 6.3三角形单元的有限元列式 6.4温度场分析举例
6.1热传导方程与换热边界
在分析工程问题时， 经常要了解工件内部的温度分布情况， 属工件在热处理过程中的温度变化、
例如发动机的工作温度、 金
流体温度分布等。物体内部的温度分布取决于物体内部
一般认为是与时间相关的。物体内部的
的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换， 热交换采用以下的热传导方程（Fourier方程）来描述，
T
c
T
x
y
T
z
T
Q
t x x y y z z
（ 6-1）
式中 为密度，kg/m3； c为比热容，J/（kg K） ； x, y, z为导热系数， w m k ； T 为温度，C； t为时间，s； Q为内热源密度，w/m3。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式，
T c 2
t
2
T
2
T
2
2
T
（6-2）
x y
— Q
z
除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。 件是指物体最初的温度分布情况，
初始条
T t 0 T0 x, y,z
（6-3）
在传热学中一般把边界条件分为三
边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。 类。
1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。
物体表面上的温度或温度函数为已知，
TT
s s
或 Ts Ts（x,y,z,t）
（6-4）
2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。 已知物体表面上热流密度，
T nx x (x
y
T ny y T
z
T nz) z T 、
s
qs
或
(x
T nx
y ny
z nz
) s
qs(x, y, z,t)
（6-5）
x y z
3) 给定对流换热条件，称为第三类边界条件。
物体与其相接触的流体介质之间的对流换热系数和介质的温度为已知。
T x nx x
其中h为换热系数,
T
y
y
ny
z 丄 z
z
nh(Tf Ts)
(6-6)
W/(m 2 K); Ts是物体表面的温度；Tf是介质温度。
物体内部的热源也不随时间变化，
在经过一定时
如果边界上的换热条件不随时间变化，
间的热交换后，物体内各点温度也将不随时间变化，即
丄0 t
这类问题称为稳态(Steady state)热传导问题。稳态热传导问题并不是温度场不随时间 我们不关心物的变化，而是指温度分布稳定后的状态， 到最后的稳定温度场。 随时间变化的瞬态 三维问题的稳态热传导方程为，
体内部的温度场如何从初始状态过渡
(Transient) 热传导方程就退化为稳态热传导方程,
(6-7)
对于各向同性的材料, 可以得到以下的方程，称为
2
Poisson 方程,
T
2
2
T
2
2
T
2~
(6-8)
Laplace 方程,
x
2
y
2
z
T 2
2
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的温度场满足
T T
0
0
~2
x y z
2
(6-9)
在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初始温度分布对最后的稳定温度场的影 响，因此不必考虑温度场的初始条件，
而只需考虑换热边界条件。计算稳态温度场实际上是
求解偏微分方程的边值问题。温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单元结点上 只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性 力学问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元的形函数，
确定。由于实际工程问题中的换热边界条件比较复杂， 定义正确的换热边界条件是温度场计算的一个难点。
由单元结点上的温度来
在许多场合下也很难进行测量，
如何
6.2稳态温度场分析的一般有限元列式
在前面我们已经介绍了有限元方法可以用来分析场问题， 场问题。我们可以采用虚功方程建立弹性力学问题分析的有限元格式， 阵有明确的力学含义。在这里，介绍如何用加权余量法( 态温度场分析的有限元列式。
微分方程的边值问题，可以一般地表示为未知函数
稳态温度场计算是一个典型的
推导出的单元刚度矩
Weighted Residual Method )建立稳
u满足微分方程组，
稳态热传导问题有限元法
